1.4. Интерполяционная формула Ньютона

Пусть таблично задана функция с равноотстоящими узлами. Требуется найти такую функцию , которая удовлетворяла бы следующим условиям:

; ; ,

то есть интерполяционная функция должна принимать значения , , в узловых точках , , . В качестве интерполирующей функции можно взять тригонометрическую, экспоненциальную и т.д., но интерполяционная формула Ньютона выводится как полиномиальная, то есть находится в виде полинома степени n ((1.3), (1.4))

(1.12)

для значения аргумента x, меняющегося с постоянным шагом h, и задача состоит в отыскании коэффициентов , , .

Положим . Тогда .

При получаем .

Продолжая подставлять значения в выражении (1.12), получим:

;

;

;

. . . . . . . . . . . .

.

Из этой системы уравнений (с учетом выражений (1.6)) находим

;

;

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

Найденные значения коэффициентов подставим в выражение (1.12)

. (1.13)

Формулу (1.13) называют первой интерполяционной формулой Ньютона (или первым интерполяционным многочленом Ньютона). Отметим, в переводной литературе иногда встречается другое название этой формулы, а именно интерполяционная формула ГрегориНьютона.

Пусть требуется вычислить значение функции для аргумента . Для этого в формуле (1.13) нужно положить , а из таблицы конечных разностей брать и соответствующие разности (в табл. 8 эти величины подчеркнуты жирными линиями).

На практике вместо (1.13) используют упрощенную формулу, которую получают из (1.13) введением нормированного аргумента

.

Тогда получаем интерполяционную формулу Ньютона в следующем виде:

. (1.14)

Существует другая запись этой формулы:

, (1.15)

где коэффициент при разности i-го порядка можно вычислить по рекуррентной формуле

, (1.16)

где .

Таблица 8. Таблица конечных разностей для вычислений

по интерполяционным формулам Ньютона, Бесселя и Стирлинга

Предложенный выше способ записи конечных разностей целыми числами в единицах последнего знака без нулей впереди (сноска к табл. 6) удобен тем, что позволяет легко оценить, с разностями какого порядка следует выполнять вычисления по формуле (1.14). Считается, что составление таблицы конечных разностей следует закончить, если разности некоторого порядка, например, порядка (k + 1) равны нулю. Практически это означает, что в формуле (1.13) все члены, содержащие разности порядка (k + 2) и выше, будут равны нулю. Но, как известно, в реальных задачах значения функции могут быть определены с некоторой ошибкой (если они получены в результате эксперимента), и в конечных разностях присутствуют ошибки округления. Из-за этого добиться равенства нулю по существу невозможно. Поэтому пользуются следующим критерием для прекращения составления таблицы, а именно считается, что конечные разности -го порядка практически равны нулю, если для абсолютного значения их суммы и абсолютной величины каждой из них выполняются следующие неравенства:

(1.17)

Пример 3. Используя данные табл. 7 , установить, разностями какого порядка следует выполнить вычисления по формуле Ньютона, и вычислить значение функции для .

Решение. Рассмотрим разности третьего порядка. В этом случае , , . Из данных табл 7. получаем:

,

,

т.е. ни одно из условий (1.17) не выполняется.

Теперь рассмотрим , , . В этом случае

,

,

поэтому в данном примере в формуле (1.15) достаточно использовать разности третьего порядка.

Для вычисления значения функции при сначала определяем нормированную величину . Далее по рекуррентной формуле (1.16) вычисляем коэффициенты :

; ;

; .

По формуле (1.15) находим искомое значение (в пределах точности данных табл. 7):

=

=0,.19867 + 0,019492 + 0,000073  0,000008=0,21823.

Вернемся к табл. 8. Как видим, в интерполяционной формуле (1.13) используются конечные разности, идущие по диагонали вниз, то есть интерполяционный многочлен строится для значений аргумента, лежащих в начале таблицы разностей. Таким образом, первый интерполяционный многочлен Ньютона удобен в начале таблицы разностей для отыскания значения функций от большего, чем начальное, значения аргумента. Поэтому употребляется и другое название первого интерполяционного многочлена Ньютона – интерполяционный многочлен для интерполирования вперед.

Вторая интерполяционная формула Ньютона (или интерполяционный многочлен для интерполирования назад) записывается в следующем виде:

, (1.18)

где .

Рекуррентная формула для вычисления коэффициентов в (1.18) при конечных разностях следующая:

.

Выражения (1.13) и (1.18) позволяют вычислять значения функции для всех значений аргумента в интервале , но так как на концах таблицы используются различные формулы, их выбор выполняется следующим образом.

Предположим, необходимо вычислить значение , где . Для решения вопроса о том, какой интерполяционной формулой (первой или второй) следует воспользоваться, надо определить индекс i ближайшего большего значения аргумента. Если (i – найденный индекс; n – число значений функции в таблице разностей; k – степень интерполирующего полинома, определенный из условия (1.17)), пользуются первой интерполяционной формулой (1.13), в противном случае – формулой (1.18).

Например, в примере 1 , значит, i = 1, n = 9, k =3. Так как в этом случае выполняется условие , мы и воспользовались формулой (1.13).

Помимо интерполирования формулы (1.13) и (1.18) дают возможность экстраполировать, то есть находить значения функции для аргументов, лежащих вне таблицы.

Если при интерполировании по формуле (1.13) значение t положительно, то при экстраполировании – отрицательно. Для формулы (1.18) наоборот: при интерполировании отрицательно, а при экстраполировании – положительно. Таким образом, первый интерполяционный многочлен Ньютона применяется для интерполировании вперед и экстраполирования назад, а второй интерполяционный многочлен – для интерполирования назад и экстраполирования вперед.

Отметим, что экстраполяция, вообще говоря, дает бoльшие ошибки, чем интерполяция, и применять ее надо, не выходя далеко за пределы таблицы.