1.3. Влияние ошибки в табличном значении

При изложении метода составления таблицы разностей предполагалось, что исходные данные не содержат погрешностей, но в реальных задачах значения функции определяются с некоторой ошибкой, и в конечных разностях присутствуют ошибки округления.

Таблицы разностей дают возможность найти ошибку в отдельных значениях функции, если разности изменяются плавно [6], [7]. Сначала посмотрим, как отразится на значениях конечных разностей ошибка в значении функции.

Предположим, что i-е значение функции заключает ошибку , так что ошибочное значение его есть . Тогда получаем таблицу конечных разностей (табл. 5).

Здесь жирными линями ограничено распространение ошибок.

Из табл. 5 видно: 1) если в значении содержится ошибка , то она присутствует и в конечных разностях , , , , и т.д.; 2) влияние ошибки возрастает вместе с порядком разности; 3) коэффициенты при представляют собой биномиальные коэффициенты с переменными знаками; 4) алгебраическая сумма погрешностей в каждом столбце разностей равна нулю и 5) максимальная ошибка в разностях находится в той же горизонтальной строке, что и ошибочная табличная величина.

Таблица 5. Движение ошибки

Рассмотренные особенности распространения ошибок дают возможность в некоторых случаях найти ошибку функции и устранить ее.

Предположим, что конечные разности третьего порядка постоянны по всему столбцу, кроме выделенного участка. В этом случае можно принять за исправленное значение разности второго порядка следующую величину:

. (1.9)

Тогда

, (1.10)

Определив таким образом величину ошибки , можно исправить табличное значение функции:

. (1.11)

Тем самым задача будет решена.

Для иллюстрации способа обнаружения и исправления ошибки в значении табулированной функции рассмотрим пример.

Пример 2. В таблице 6 приведены экспериментальные данные (столбцы 1 и 2) и конечные разности (столбцы 3-6). С этими табличными данными необходимо установить наличие ошибки в экспериментальном значении функции, устранить ее и составить исправленную таблицу конечных разностей.

Решение. Из табл. 6 видно, что третьи разности совершенно беспорядочны около середины столбца, еще более беспорядочны четвертые разности. Из этого заключаем, что в значение функции при x = 0.40 вкралась ошибка. Для определения величины ошибки сначала вычислим по (1.9) исправленное значение разности второго порядка:

.

Теперь через (1.10) вычисляем :

.

Выражение (1.11) дает возможность вычислить исправленное значение функции:

.

С этим исправленным значением функции составляем новую таблицу разностей (табл. 7). Из табл. 7 видно, что после внесения поправки в значение функции для x = 0,40 результаты получились более сглаженными.

Таблица 6. К примеру 1

1	2	3	4	5	6
0,20	0,19867
		4873*
0,25	0,24740		-61
		4812		-13
0,30	0,29552		-74		4
		4738		-9
0,35	0,34290		-83		-11
		4655		-20
0,40	0,38945		-103		17
		4552		-3
0,45	0,43497		-106		-11
		4446		-14
0,50	0,47943		-120		3
		4326		-11
0,55	0,52269		-131		2
		4195		-9
0,60	0,56464		-140		-3
		4055		-12
0,65	0,60519		-152
		3903
0,70	0,64422

* Все табличные разности принято записывать целыми числами в единицах последнего знака без нулей впереди. Например, в табл. 6 , , = 0.24740  0.19867 =0.04873. В этом случае в качестве табличного значения для записывают 4873.

Мы рассмотрели случай, когда ошибочно только одно значение функции.

Если неверно несколько значений функции, то последовательные разности функции будут беспорядочны, но определить место и размеры отдельных ошибок будет уже нелегко.

Таблица 7. К примеру 1

1	2	3	4	5	6
0,20	0,19867
		4873
0,25	0,24740		-61
		4812		-13
0,30	0,29552		-74		+1
		4738		-12
0,35	0,34290		-86		+1
		4652		-11
0,40	0,38942		-97		-1
		4555		-12
0,45	0,43497		-109		+1
		4446		-11
0,50	0,47943		-120		0
		4326		-11
0,55	0,52269		-131		+2
		4195		-9
0,60	0,56464		-140		-3
		4055		-12
0,65	0,60519		-152
		3903
0,70	0,64422

В случае, когда каждое табличное значение будет иметь погрешность , каждая третья разность будет иметь погрешность

,

каждая четвертая разность  погрешность

и т.д.

В практических задачах табличные значения y функции получаются путем измерения или вычисления. Поэтому они подвержены погрешностям измерения или погрешностям, возникающим при округлении вычисленных результатов до данного числа знаков. В обоих случаях эти ошибки будут возрастать в процессе образования разностей, и они одни могут привести к тому, что высшие разности будут неправильны. В этих случаях часто применяют специальные приемы для сглаживания значений функции, которые мы здесь не рассматриваем.