20. Дайте определение ортогонального базиса в . Приведите пример ортогонального базиса в , не содержащего ни одного из векторов стандартного базиса , , . Ответ обоснуйте.

Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты. Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов. Этот базис линейно независим. Пример ортогонального базиса в R3: v1=(3;0;0), v2=(0;-2;0), v3=(0;0;3). Так как (v1, v2) = (v2, v3) = (v1, v3) = 0.

4. Матрицы и определители

21. Дайте определение ранга матрицы. Приведите примеры матриц порядка рангов 1, 2 и 3.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

rg1 0 0

0 0 0 = 1

0 0 0

rg1 0 0

0 1 0 = 2

0 0 0

rg1 0 0

0 1 0 = 3

0 0 1

22. Дайте определение произведения матриц и . Приведите пример, когда определено, а - нет. Существуют ли ненулевые квадратные матрицы и такие, что ? Ответ обоснуйте.

23. Укажите, какие из равенств не выполняются для любых матриц порядка : а) ; б) ; в) ; г) .Приведите примеры, опровергающие неверные равенства.

24. Укажите, какие из равенств не выполняются для любых обратимых матриц порядка и ненулевого числа : а) ; б) ; в) ; г) ? Приведите примеры, опровергающие неверные равенства.

25. Дайте определения вырожденной и невырожденной квадратных матриц порядка . Приведите примеры таких матриц.

Квадратная матрица A ∈ Rn×n называется вырожденной, если detA = 0. В противном

случае матрица A называется невырожденной.

вырожденная: det0 1 0 0= 0

невырожденная:

det0 1 −1 0= 1

26. Сформулируйте основные свойства определителей, связанные с элементарными преобразованиями строк.

1) Если какая либо строка определителя состоит из 0, то и сам определитель равен нулю.

2)При перестановке любых 2-х строк определ.умножается на -1.

3) Определ. с 2 равными строками равен 0.

4) Общий множитель эл-тов любой строки можно вынести за знак определ.

5) Если эл-ты некоторых строк определ. представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то и сам определ. равен сумме 2-х определ. 1и2. В определ. 1 указанная строка состоит из первых слагаемых в 2 из вторых.Остальные строки определ. 1и2 те же,что и в начальном.

6) Величина определ. не изменяется, если к одной из строк пребавить другую строку, умноженную на какое угодно число.

7)Сумма произведений эл-тов любой строки на алгебраич. дополнения к соответств. эл-там другой строки равен0.

8) Определю матрицы A равен определителю транспонир. матрицы |A|=|A^t|.

9)Определитель произведения 2-х матриц равен произведению определ. этих матриц, |A*B|=|A|*|B|.

27. Напишите разложение определителя по второй строке.

Ответ: -5a+5b+5c

28. Проверьте справедливость свойства для матриц , .

29. Докажите, что , где .

Докажем, что

30. Существуют ли матрицы и такие, что , а . Ответ обоснуйте.

Предположим, что ∃A,B : AB = 0, BA = E. Тогда по свойству определителей

0 = |0| = |AB| = |A| · |B| = |B| · |A| = |BA| = |E| = 1. Пришли к противоречию, которое опровергает возможность существования таких матриц A и B.

31. Приведите формулу для вычисления обратной матрицы для матрицы порядка 3. С помощью этой формулы найдите .

32. Верно ли, что матричные равенства и равносильны? Ответ обоснуйте.

33. Сформулируйте правило Крамера для решения системы линейных уравнений . Докажите правило Крамера для системы линейных уравнений от двух переменных.

34. Проиллюстрируйте применение правила Крамера для решения системы уравнений

Ответ: x=1, y=1, z=1