Розв’язання.

1 Обчислимо парні коефіцієнти кореляції.

Використовуємо Сервис – Анализ данных – Корреляция.

Одержимо кореляційну матрицю

		X1	X2	Y
		Строка 1	Строка 2	Строка 3
X1	Строка 1	1
X2	Строка 2	0,508	1
Y	Строка 3	0,901	0,7619	1

Отже відповідні коефіцієнти парної кореляції такі:

r_Y1=0,901; r_Y2= 0,7619; r₁₂=0,508.

Обчислимо коефіцієнти часткової кореляції за формулами

, ,

Отримаємо такі данні:

ry1,2	=	0,921637
ry2,1	=	0,814348
r12,y	=	-0,63603

Проведемо аналіз отриманих коефіцієнтів парної та часткової кореляції.

Додатне значення r_y1 свідчить про прямий зв'язок між Y та X₁, r_y1=0,901, отже вплив потужності шару X₁ на видобуток вугілля сильний. Усунення X₂ збільшує кореляційний зв'язок (r_y1,2 = 0,921637).

Додатне значення r_y2 свідчить про прямий зв'язок між Y та X₂, оскільки r_y2=0,7619 – зв'язок обсягу видобутку вугілля й рівня механізації робіт X₂ суттєвий. Усунення Х₁ цей зв'язок підсилює (r_y2,1 = 0,814348).

r₁₂=0,508 свідчить про те, що X₁ і X₂ практично не корелюють. Це важливо в регресійних моделях. Однак усунення Y не послабляє кореляцію (r_12,y = -0,63603).

2 Оцінимо невідомі параметри множинної лінійної регресії.

Рівняння регресії має вигляд =a₀+a₁x₁+a₂x₂. Для визначення невідомих параметрів регресії (а₀, а₁ , а₂) необхідно записати систему рівнянь у матричній формі.

.

Запишемо матриці X та Y .

X			Y
1	8	5	5
1	11	8	11
1	12	8	10
1	9	5	6
1	8	7	6
1	8	8	7
1	9	6	6
1	9	4	5
1	8	5	5
1	12	7	11

Обчислимо X^Т за допомогою функції Excel ТРАНСП( <масив>).

XТ
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
8	11	12	9	8	8	9	9	8	12
5	8	8	5	7	8	6	4	4	7

Обчислимо добутки матриць X^ТХ та X^ТY (функція Excel МУМНОЖ(<матриця 1>;< матриця 2>).

XТ				XТY
10	94	62		72
94	908	595		710
62	595	408		474

Знайдемо обернену матрицю (X^ТХ)^-1 (функція Excel МОБР(<діапазон>)). А потім обчислимо добуток матриць (X^ТХ)^-1(X^ТY).

(XТ)-1			(XТХ)-1(XТY)
3,849883	-0,34239	-0,08571	а0 =	-6,53302
-0,34239	0,055269	-0,02857	а1 =	1,04637
-0,08571	-0,02857	0,057143	а2 =	0,628571

За значеннями обчислених параметрів записуємо рівняння регресії y= -6,533+ 1,046x₁+ 0,6286x₂.

3 Використовуючи функцію ЛИНЕЙН, перевіряємо обчислення. Отримуємо такі дані:

0,6286	1,046	-6,533
0,1693	0,166	1,3897
0,9368	0,708
51,910	7
52,088	3,5119

Як бачимо з таблиці a₀ = -6,533, a₁ = 1,046, a₂ = 0,6286, R²= 0,9368, F_p= 51,910.

Одержуємо рівняння регресії y= -6,533+ 1,046x₁+ 0,6286x₂.

Воно показує, що при збільшенні тільки потужності шару x₁ (при незмінному x₂) на 1 м видобуток вугілля на одного робітника y збільшиться в середньому на 1,046 т, а при збільшенні тільки рівня механізації робіт x₂ (при незмінному x₁) на 1% – у середньому на 0,6286 т.

4. Установимо значущість коефіцієнтів лінійної регресії. Обчислимо критеріальні значення t_ai = a_i /σ_ai.

Задамо рівень значущості та обчислимо критичне значення , де k – кількість параметрів регресії; n – кількість вимірювань.

t_kp=СТЬЮДРАСПОБР(0,05;7)=2,365

Якщо |t_ai | < t_kr – коефіцієнти статистично не значущі, у випадку |t_ai |> t_kr – коефіцієнти статистично значущі.

Висновок: коефіцієнти регресії а₀ , а₁, а₂ статистично значущі.

5 Перевіримо якість моделі. Коефіцієнт детермінації R²=0,936, скоригований коефіцієнт детермінації –=0,9188, що свідчить про прийнятну якість моделі.

6 Перевіримо адекватність моделі за критерієм Фішера.

F_p=51,91, F_kp=FРАСПОБР(0,05; 2; 7)=19,35.

Як бачимо F_p > F_kp, отже модель адекватна.

Висновок: модель Y= -6,533+ 1,046x₁+ 0,6286x₂ +U якісна і адекватна.