Розв’язання

Рівняння регресії має вигляд =a₀+a₁x+a₂x². Для визначення невідомих параметрів регресії (а₀, а₁ , а₂) необхідно записати систему рівнянь.

Коефіцієнти даної регресії обчислимо за допомогою методу найменших квадратів. Система буде мати такий вигляд

.

Обчисливши зазначені суми, одержимо систему рівнянь

										суми
x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	45
y	35,4	34,2	33,6	32,1	32,7	33,8	35,6	37,2	38,8	313,4
x2	1	4	9	16	25	36	49	64	81	285
X3	1	8	27	64	125	216	343	512	729	2025
X4	1	16	81	256	625	1296	2401	4096	6561	15333
yx	35,4	68,4	100,8	128,4	163,5	202,8	249,2	297,6	349,2	1595,3
yx2	35,4	136,8	302,4	513,6	817,5	1216,8	1744,4	2380,8	3142,8	10290,5

.

Тепер у нас є система трьох рівнянь із трьома невідомими.

Подамо цю систему в матричній формі AX=B, де X=(a0, a1, a2).

	9	45	285
A	45	285	2025
	285	2025	15333

	313,4
B	1595,3
	10290,5

Перевірку сумісності системи можна виконати, обчисливши визначник матриці А за допомогою функції EXCEL МОПРЕД(<діапазон>).

Розв’язок визначаємо матричним методом за формулою X= A^-1B, обернена матриця A^-1 обчислюється за допомогою функції Excel МОБР(<діапазон>).

A-1	1,619048	-0,67857	0,059524
	-0,67857	0,341342	-0,03247
	0,059524	-0,03247	0,003247

Добуток матриць A^-1B обчислюється за допомогою функції Excel МУМНОЖ(<матриця 1>;< матриця 2>). Одержуємо коефіцієнти регресії

a0=	37,4142857
a1=	-2,2285498
a2=	0,27002165

Отже, рівняння регресії має вигляд

37, 414-2,229x+0,270x².

Визначення невідомих параметрів регресії (а₀ , а₁ , а₂) матричним способом.

Матричний запис системи для визначення параметрів регресії такий: .

Запишемо матриці X та Y .

	1	1	1			35,4
	1	2	4			34,2
	1	3	9			33,6
X	1	4	16		Y	32,1
	1	5	25			32,7
	1	6	36			33,8
	1	7	49			35,6
	1	8	64			37,2
	1	9	81			38,8

Обчислимо X^Т за допомого функції Excel ТРАНСП(<масив>).

XТ	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	1	4	9	16	25	36	49	64	81

Обчислимо добутки матриць X^ТХ та X^ТY (функція Excel МУМНОЖ(<матриця 1>;< матриця 2>).

	9	45	285		XТY	313,4
XТХ	45	285	2025			1595,3
	285	2025	15333			10290,5

Знайдемо обернену матрицю (X^ТХ)^-1 (функція Excel МОБР(<діапазон>)). А потім обчислимо добуток матриць (X^ТХ)^-1(X^ТY).

	1,61904	-0,6785	0,05952			37,414	=а0
(XТХ)-1	-0,6785	0,34134	-0,0324		(XТХ)-1(XТY)	-2,228	=а1
	0,05952	-0,0324	0,00324			0,270	=а2

За значеннями обчислених параметрів записуємо рівняння регресії 37, 414-2,228x+0,270x².

Обчислимо коефіцієнт лінійної кореляції r_xy за допомогою функції КОРРЕЛ(<діапазон>). r_xy= 0,59857 – слабкий лінійний зв'язок.

Знайдемо коефіцієнт детермінації

R²= 1-.

Для цього проведемо обчислення у вигляді таблиці

										Сума
x	1,00	2,00	3,00	4,00	5,00	6,00	7,00	8,00	9,00	45,00
y	35,40	34,20	33,60	32,10	32,70	33,80	35,60	37,20	38,80	313,40	Ysr= 34,82
	35,46	34,04	33,16	32,82	33,02	33,76	35,05	36,87	39,23	313,40
	0,40	0,62	2,77	4,01	3,24	1,12	0,05	4,18	19,42	35,80
	0,33	0,39	1,49	7,41	4,50	1,04	0,60	5,65	15,82	37,26
	0,00	0,03	0,19	0,52	0,10	0,00	0,31	0,11	0,18	1,45

R²=0,9611, отже, наша модель добре описує вхідні дані.

Оцінимо адекватність моделі за критерієм Фішера. Обчислюємо

F_р=,

де S²_регрес = =17,90, S²_зал = =0, 24,

F_р=74,0492.

Знаходимо F_кр=F(, k-1,n-k) , k-кількість параметрів. F_кр визначаємо за допомогою функції FРАСПОБР(0,01;2;6), F_кр=10,9249. Оскільки F_р >F_кр модель адекватна.

Побудуємо графік:

Тепер ми можемо зробити прогноз витрат на рекламу до кінця року. Для цього ми використовуємо наше рівняння регресії 37, 414-2,229x+0,270x². Будуємо таблицю вхідних значень y та значень , обчислених за отриманим рівнянням регресії (y_регр) .

x	y	yрегр
1	35,4	35,45
2	34,2	34,03
3	33,6	33,159
4	32,1	32,82
5	32,7	33,022
6	33,8	33,764
7	35,6	35,045
8	37,2	36,86
9	38,8	39,229
10		42,13
11		45,573
12		49,55

Будуємо графік:

Висновок: на кінець року витрати на рекламу складуть 49,55 тис. грн.