7.5 Оцінка якості моделі

Для оцінки якості моделі вводиться коефіцієнт детермінації, що показує, яка частина варіації пояснюється за допомогою регресійної залежності

,

або

.

Оскільки

,

тобто

,

то, остаточно,

.

Коефіцієнт детермінації показує, яка частина варіації результативної ознаки Y враховується в моделі й обумовлена впливом на неї незалежних факторів, врахованих у моделі. Можливі значення коефіцієнта детермінації належать відрізку [0;1]. Чим ближче R² до 1, тим краща якість моделі. Якість моделі вважається прийнятною, якщо коефіцієнт детермінації не нижче 0,96.

 – індекс кореляції. Він, як і R², відображає точність моделі й може використовуватися при будь-якій формі зв'язку. При прямолінійному зв'язку індекс кореляції дорівнює коефіцієнту кореляції.

, .

Чим ближче  до 1, тим краще регресійна залежність описує експериментальні дані.

7.6 Критерій Фішера для оцінки адекватності моделі

Побудуємо випадкову величину

,

де , k – кількість параметрів моделі. Для парної лінійної регресії k=2, ( k-1)=1;

, n –кількість спостережень.

Обчислюємо F _кр, для заданого рівня значущості α, використовуючи функцію FРАСПОБР пакету Excel:

F _кр = FРАСПОБР(; k-1; n-k).

Якщо, то модель адекватна.

7.7 Перевірка значущості коефіцієнтів регресії

Для перевірки значущості коефіцієнтів регресії застосовуємо t – критерій Стьюдента, за допомогою якого перевіряють, чи значуще a_i відрізняється від нуля. Висуваємо гіпотези:

Н₀: ; Н₁: ;

Обчислюємо критеріальне значення , яке має розподіл Стьюдента з n-k ступенями вільності,

де; ; ;

n – кількість спостережень; k – кількість параметрів регресії.

Обчислюємо для заданого рівня значущості α критичне значення .

Якщо , a_i – статистично незначуще, а якщо , a_i - статистично значуще.

Якщо виникає ситуація, що a_i статистично незначуще відрізняється від нуля, то це означає, що вплив i-го фактору на досліджувану змінну нестабільний.

7.8 Функції Excel для побудови регресійних залежностей

В Excel для знаходження кращої залежності необхідно побудувати лінію тренда.

1. Будується графік.

2. На графіку виводимо контекстне меню – Додати лінію тренда.

3. Обираємо тип лінії тренда (лінійна, логарифмічна, експонентна, степенева).

4. У закладці Параметры обираємо:

• показывать уравнение на диаграмме;

• поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2).

В Excel для побудови лінійної регресії використовується функція линейн, що дає рівняння лінійної регресії (=a₁х+a₀) і статистику. Цю функцію можна також використовувати для множинної регресії = a_mх_m+…+ a₂х₂+ a₁х+a₀ (m змінних впливають на досліджуваний фактор).

• необхідно виділити 5 рядків і k стовпців, де k - кількість параметрів моделі;

• вибрати функцію Линейн;

• зазначити параметри: діапазон значень Y; діапазон значень X;

• зазначити вигляд регресії:

= a_mх_m+…+ a₂х₂+ a₁х+a₀ в графі Конст ставимо 1 (истина),

якщо = a_mх_m+…+ a₂х₂+ a₁х в графі Конст ставимо 0 (ложь).

• Статистика — логічне значення, що вказує, чи потрібно повернути додаткову статистику для регресії. Якщо аргумент статистика має значення ИСТИНА, то функція ЛИНЕЙН повертає додаткову регресійну статистику.

Натиснути CTRL+Shift+Enter для введення значень масиву.

Отримаємо таблицю результатів:

am	…....	a1	a0
an		a1	a0
R2	y
F	df
SSreg	SSзал

a_m ,…, a_1, a₀ – коефіцієнти рівняння регресії;

_ai – похибки обчислення для коефіцієнтів;

R² – коефіцієнт детермінації й _у - похибки обчислення для y;

F – статистика (F розраховане) і df - кількість ступенів вільності;

SSreg – регресійна сума квадратів; SSзал – залишкова сума квадратів.

Функція ТЕНДЕНЦИЯ повертає значення відповідно до лінійного тренда. Вона за методом найменших квадратів апроксимує прямою лінією масиви <відомі_значення_y> і <відомі_значення_x>. Повертає значення y відповідно до цієї прямої для даного заданого масиву <нові_значення_х>.

ТЕНДЕНЦИЯ (відомі_значення_у; відомі_значення_х; нові_значення_х; константа). Значення Константа обирається відповідно до вигляду функції регресії так само, як і для функції Линейн.

ЛГРФПРИБЛ(відомі_значення_у; відомі_значення_х;

нові_значення_х; конст; статистика).

ЛГРФПРИБЛ – рівняння кривої таке: , де залежне значення Y є функцією незалежних значень х. Значення a₁ є підставою для піднесення до степеня х, а значення a₀ постійне. Відмітимо, що y, x і a можуть бути векторами. Функція ЛГРФПРИБЛ повертає масив{a_n; a_n-1;...;a₁, a₀}. Параметри та результати обчислень функції ЛГРФПРИБЛ за змістом співпадають з відповідними даними функції Линейн.

Функція РОСТ повертає значення у для послідовності нових значень х, що задаються за допомогою існуючих х- і у-значень. Функція РОСТ може застосовуватися також для апроксимації існуючих х- і у-значень експонентною кривою.

Приклад. У таблиці 7.2 наведена динаміка зростання прибутку деякої фірми за останні n років у відсотках до базового року.

1. Побудувати діаграму. Оцінити за нею вигляд залежності.

2. Обчислити коефіцієнти коваріації й лінійної кореляції. Зробити висновки.

3. Розрахувати а₀ і а₁ для лінійної регресії =a₀+a₁x, використовуючи коефіцієнт лінійної кореляції. Записати отримане рівняння.

4. Перевірити свої розрахунки, використовуючи функцію ЛИНЕЙН.

5. Знайти коефіцієнт детермінації.

6. Оцінити адекватність моделі за критерієм Фішера при рівні значущості α = 0,05.

7. Використовуючи функцію ТЕНДЕНЦИЯ, одержати прогноз величини прибутку на наступний рік. Побудувати графік.

8. Використовуючи функцію ЛГРФПРИБЛ, одержати рівняння кривої.

9. Порівняти коефіцієнти детермінації для лінійної та експонентної залежностей.

10. Розрахувати прогнозоване експонентне зростання на підставі наявних даних.

Таблиця 7.2 – Динаміка зростання прибутку фірми за останні 10 років у відсотках до базового року

Рік	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Прибуток	115.4	132.7	161.2	181.4	214.5	241.2	272.9	301.4	320.5	350.4