7.3 Вибір вигляду функції для монотонних процесів

При моделюванні монотонних процесів (зростаючих або спадних), коли число спостережень n невелике, може бути використана одна з таких регресійних функцій, що залежать від двох параметрів:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

Ці залежності примітні тим, що якщо табличні значення задовольняють одне із цих рівнянь, то й середні значення та також його задовольняють. При цьому в ролі та може бути середнє арифметичне, геометричне й гармонічне:

, ,

.

N					Вигляд функції
1	х(ар)	Y(ар)			=а0+a1x
2	х(геом)	Y(ар)			=a0+a1lnx
3	х(гарм)	Y(ар)			=а0+а1/x
4	х(ар)	Y(геом)			=a0a1x
5	х(геом)	Y(геом)			=a0xa1
6	х(гарм)	Y(геом)			=exp(a0+a1/x)
7	х(ар)	y(гарм)			=1/(a0+a1x)
8	х(геом)	Y(гарм)			=1/(a0+a1lnx)
9	х(гарм)	y(гарм)			=x/(a0+a1x)

Для вибору вигляду функції регресії обчислюють для у такий спосіб: = , якщо збігається з одним із вузлів x_i. Якщо , то .

Як критерій вибору кращої функціональної залежності використовують

Після того, як обрано вигляд функції, модель перетворюють до лінійного вигляду, якщо це необхідно.

7.4 Метод найменших квадратів для оцінки параметрів функції регресії

Після того як обрано вигляд функції регресії , необхідно знайти невідомі параметри а₀, а₁, …, а_m.

Метод найменших квадратів полягає в наступному: коефіцієнти а₀, а₁, …, а_m вибираються таким чином, щоб

.

Сума квадратів відхилень експериментальних значень y_i від розрахованих за рівнянням регресії в точках х_i повинна бути мінімальною.

Для випадку лінійної функції

.

, – необхідна умова існування екстремуму.

Отримаємо систему рівнянь

(7.3)

або

Функція S необмежена зверху, обмежена знизу, має тільки одну критичну точку 1-го роду, може досягати в ній тільки мінімуму.

Розв’язуючи систему рівнянь, знаходимо

Використовуючи коефіцієнт кореляції, можна записати

(7.4)

Властивості регресії

1. Регресійна пряма проходить через точку ().

Ми визначили параметри лінійної регресії a₁, a₀ (7.4), отже рівняння лінійної регресії таке

. (7.5)

З рівняння (7.4)

. (7.6)

Віднімаючи від (7.5) рівняння (7.6), отримаємо

. (7.7)

Отже бачимо, що оцінювана лінія регресії проходить через центр (). Рівняння (7.7) можна записати у вигляді

.

2. Обчислимо :

.

Сума відхилень всіх точок від прямої дорівнює 0. Цю властивість використовують для перевірки обчислень. Розглянемо, з яких частин складаються відхилення рівнянь.

. (7.8)

У статистиці різницю називають загальним відхиленням заданої випадкової величини.

– відхилення, які можна пояснити, виходячи з регресійної залежності. Дійсно, якщо x змінюється, ці відхилення можна знайти за рівнянням регресії.

– називають непоясненими відхиленнями, тобто відхиленнями, які не можна пояснити за допомогою регресійної прямої.

Зведемо (7.8) у квадрат і обчислимо суму за всіма значеннями і:

;

Розділимо на n:

;

.

Оскільки модель відображає вплив на результативну ознаку лише частину реальних факторів, регресійний аналіз пояснює тільки частину дисперсії відгуку (загальної дисперсії).

Загальна дисперсія = дисперсія, що пояснюється регресійним аналізом + залишкова дисперсія.

,

,

де ²_заг – загальна дисперсія;

²_регр – дисперсія, що пояснюється регресією;

²_зал – дисперсія помилок.