Функції багатьох змінних
-
Означення функції n змінних. Приклад.
-
Область визначення функції двох змінних.
-
Лінії рівня функції двох змінних.
-
Окіл точки на площині і проколотий окіл, малюнок.
-
Означення і позначення границі функції двох змінних.
-
Теорема про арифметичні дії над границями.
-
Означення неперервної функції в точці.
-
Означення неперервної функції в області.
-
Означення часткових приростів функції двох змінних.
-
Означення повного приросту функції двох змінних.
-
Означення частинних похідних функції двох змінних.
-
Правило знаходження частинних похідних.
-
Означення градієнта функції двох змінних в точці.
-
Означення диференційованої функції в точці і повного диференціала.
-
Зв’язок диференційованості функції з існуванням частинних похідних.
-
Формула для диференціалу через частинні похідні.
-
Інваріантність формули диференціалу.
-
Формули для похідної складної функції.
-
Формула для похідної неявно заданої функції від одної змінної через частинні похідні.
-
Формули для частинних похідних неявно заданої функції двох змінних.
-
Означення приросту функції двох змінних в напрямку вектора в точці.
-
Означення похідної в напрямку функції двох змінних.
-
Властивість похідної в напрямку.
-
Фізичний зміст похідної в напрямку.
-
Формула для знаходження похідної в напрямку.
-
Означення і позначення частинних похідних другого порядку функції двох змінних.
-
Означення повної похідної другого порядку функції двох змінних.
-
Теорема про змішані похідні другого порядку функції двох змінних.
-
Означення точки максимуму (мінімуму, екстремуму) функції двох змінних в області.
-
Означення точок локального максимуму (мінімуму, екстремуму) функції двох змінних.
-
Необхідна умова локального екстремуму функції двох змінних.
-
Достатня умова локального екстремуму функції двох змінних.
-
Дослідження функції двох змінних на абсолютний екстремум в області.
|
3. Повне дослідження функції.
4. Знайти похідну і диференціал функції:
а)
б)
в)
5. Знайти частинні похідні функції двох змінних
6. Дослідити функцію на екстремум
|
|
ПРАКТИЧНІ
ЗАВДАННЯ.
Рівень 1.
1.
2.
.
,
,
,
(М 3) Теорет.питання. Невизначений інтеграл.
1.Означення первісної з прикладом.
2.Формула підведення під знак диференціалу з прикладом.
3.Властивості первісної про додавання сталої і про дві первісні одної функції.
4.Первісна для суми, різниці двох функцій.
5.Первісна домноженої на константу функції.
6.Означення невизначеного інтегралу.
7.Невизначений інтеграл суми, різниці двох функцій.
8.Невизначений інтеграл домноженої на константу функції.
9.Похідна з невизначеного інтегралу.
10.Інваріантність формули невизн. інтегралу з прикладом.
11.Теорема про існування первісної.
12.Приклади функцій з неелементарними первісними.
13.В чому полягає метод розкладу?
14.Найпростіші перетворення під знаком диференціалу з прикладами.
15.В чому полягає метод підведення під знак диференціалу?
16.Формула інтегрування частинами.
17.В чому полягає метод інтегрування частинами?
19.І тип виразів, що інтегруються частинами з прикладом.
20.ІІ тип виразів, що інтегруються частинами з прикладом.
21.ІІІ тип виразів, що інтегруються частинами з прикладом.
22.ІV тип виразів, що інтегруються частинами з прикладом.
23.Означення раціональної функції (раціонального дробу).
24.Означення правильного і неправильного раціональних дробів.
25.Як можна розкласти неправ. дріб?
26.Які дроби називають простими?
27.Основна теорема алгебри.
28.План-теорема розкладу правильного дробу на прості дроби.
29.Теорема про первісну рац. функції.
30.Інтегрування
виразів
,
якщо один з степенів непарний.
30.Інтегрування
виразів
,якщо
обидва степені парні невід’ємні.
31.Інтегрування виразів
і т.п..
32.Теорема про універсальну
підстановку.
33.Теорема
про підстановку
.
34.Які підстановки роблять при
інтегруванні
?
35.Яку підстановку роблять при
інтегруванні функції
?
36.Тригонометричні підстановки в ірраціональних виразах.
Визначений інтеграл.
1.Означення розбиття відрізка і діаметру розбиття.
2.Означення і геометричний зміст інтегральної суми для даного розбиття і вибраних проміжних точок.
3.Означення визначеного інтегралу.
4.Геометричний зміст визначеного інтегралу.
5.Фізичний та прикладний зміст визначеного інтегралу.
6.Необхідна умова існування визначеного інтегралу.
7.Достатні умови існування визначеного інтегралу.
8.Властивість визначеного інтегралу для суми, різниці функцій.
9.Властивість визначеного інтегралу про винесення константи.
10.Визначений інтеграл для невід’ємної функції.
11.Властивість про оцінку визначеного інтегралу.
12.Теорема про середнє значення функції через визначений інтеграл.
13.Адитивність визначеного інтегралу.
14.Означення функції верхньої межі інтегралу.
15.Теорема про функцію верхньої межі інтегралу.
16.Формула Ньютона-Лейбніца.
17.Заміна змінної у визн. інтегралі.
18.Формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі.
19.Знаходження площ з допомогою визначеного інтегралу.
21.Формула для довжини дуги кривої.
22.Формула для обчислення об’єму тіла через поперечні перерізи.
23.Формула для об’єму тіла, утвореного обертанням навколо осі х криволінійної трапеції.
24.План розв’язування прикладних задач з допомогою визначеного інтегралу.
25.Означення невласного інтегралу І-го роду з нескінченною верхньою межею. Коли він збігається і розбігається?
26.Геометричний зміст невласного інтегралу І-го роду з нескінченною верхньою межею для невід’ємної функції.
27.Означення невласного інтегралу І-го роду з нескінченною нижньою межею. Коли він збігається і розбігається?
28.Означення невласного інтегралу І-го роду з обома нескінченними межами. Коли він збігається і розбігається?
30.Означення фінітної функції.
31.Означення невласного інтегралу ІІ-го роду з особливістю у верхній межі. Коли він збігається і розбігається?
32.Означення невласного інтегралу ІІ-го роду з особливістю у нижній межі. Коли він збігається і розбігається?
33.Означення невласного інтегралу ІІ-го роду з особливістю в середині проміжка. Коли він збігається і розбігається?
Диференціальні рівняння (ДР).
1.Означення ДР і його порядку.
2.Загальний вигляд ДР першого порядку і ДР першого порядку, розв’язаного відносно похідної.
3.ДР І-го порядку в симетричній формі.
4.Означення розв’язку ДР.
5.Означення інтегралу ДР.
6.Означення інтегральної кривої ДР.
7.Що таке інтегрування ДР?
8.Вигляд задачі Коші для ДР І-го пор.
9.Геометр. зміст зад. Коші для ДР І- го пор.
12.Теорема про існування і єдиність розв’язку задачі Коші.
14.Означення загального розв’язку ДР.
15.Означення часткового розв’язку ДР.
16.Означення заг. і частк. інтегралу ДР.
18.Означення ДР, розв’язних в квадратурах.
19.Означення ДР з відокремлюваними змінними.
20.Як впізнавати рівняння з відокремлюваними змінними розв’язані відносно похідної?
21.Як впізнавати рівняння з відокремлюваними змінними в симетричній формі?