Периодические функции.

Функция, ,определенная на множестве X, называется периодической, если существует такое число T (называемое периодом), что .

Если функция является периодической с периодом T, то, зная значения этой функции на промежутке (или, вообще говоря, на любом полуинтервале длины T), мы можем найти значения этой функции в любой точке области определения. Так, зная значения функции в точке , заключаем, что это же значение функция принимает в точках , а также в точках .

Имея часть графика функции на участке , можно построить график функции во всей области определения. Для этого достаточно параллельно перенести вдоль оси часть графика, заданную на (вправо на величины T, 2T,…) и аналогично влево на

–T, -2T,….

Простейшими примерами периодических функций являются функции , с периодом .

Очевидно, что если периодом функции является число T, то периодами этой функции будут и числа 2T, 3T,…. В самом деле, например,

.

Может случиться, что во множестве периодов одной и той же функции есть наименьшее положительное число. Его называют минимальным периодом.

Не всякая функция имеет минимальный период. Например, функция Дирихле:

периодическая. Ее периодом будет любое рациональное число. Однако, минимального периода она не имеет, так как не существует наименьшего положительного рационального числа.

Функции ограниченные и неограниченные.

Определение 1. Функция , определенная на множестве X, называется ограниченной сверху (снизу) на этом множестве, если .

Иначе говоря, функция ограничена на множестве X сверху (снизу), если множество ее значений ограничено сверху (снизу). Например, функция ограничена на всей числовой прямой сверху, и снизу, и числом M для нее может быть любое число большее или равное 1, а числом m – любое число, меньшее или равное -1.

Числа M и m в определении носят названия, соответственно, верхней и нижней границ.

Определение 2. Функция , определенная на множестве X, называется ограниченной на этом множестве, если .

Так как неравенство эквивалентно неравенствам , то ограниченная на множестве X функция ограничена и сверху, и снизу.

Геометрически это означает, что для функции, ограниченной сверху (снизу), существует такая прямая, что все точки графика функции лежат ниже (выше) прямой (рис. 10, 11).

Определение 3. Число M называется верхней гранью функции на множестве X, если выполнены условия:

а)

б) и записывают .

Второе условие означает, что верхняя грань функции есть наименьшая из всех верхних границ (рис. 11).

Определение 4. Число m называют нижней гранью функции на множестве X, если выполнены условия:

а) ,

б) и записывают

Второе условие здесь означает, что нижняя грань функции есть наибольшая из всех ее нижних границ (рис.11).

Рис.10 Рис.11

Например, функция , ограниченная на всей числовой прямой снизу, имеет своей нижней гранью m=0.

Нижняя и верхняя грани ограниченной функции не всегда являются ее значениями. В дальнейшем будет показано, что нижняя и верхняя грани функции, непрерывной на сегменте, являются значениями этой функции.

Так как неограниченность функции есть отрицание ее ограниченности, то определение неограниченной функции следует из равносильности Примером неограниченной функции является функция