§8. Действительная функция действительной переменной.

Рассмотрим отображение множества в множество . Как указывалось, при отображении множества и могут быть произвольными. Частным, но очень важным случаем отображения является случай, когда множества и являются подмножествами множества действительных чисел. В этом случае отображение называют действительной функцией действительной переменной.

Учитывая, особую роль действительной функции действительной переменной, дадим ее определение, которое, конечно, является частным случаем общего определения функции (отображения).

Определение. Пусть даны два множества действительных чисел: множество и множество . Если каждому элементу множества по некоторому закону поставлен в соответствие единственный элемент множества , то говорят, что на множестве определена действительная функция действительной переменной и пишут . При этом называют независимой переменной, или аргументом, а называют зависимой переменной, или функцией. Множество называют областью определения функции, а множество – множеством значений функции.

Действительные функции действительной переменной наиболее часто встречаются при изучении различных процессов и явлений природы. При этом изменение одних величин, как правило, вызывает изменение других величин. Поэтому, изучая некоторый процесс или явление, необходимо, прежде всего, выяснить связи и закономерности, которые в них существуют. С точки зрения математики это означает, что нужно найти функциональные зависимости, существующие между величинами.

Так, имеются зависимости между площадью круга и его радиусом, между объемом тела и его температурой.

Имея дело с функцией , всегда пишут равенство , чтобы выразить, что есть функция от , однако это не означает, что функция всегда определена формулой, в которой указаны те действия над аргументом , которые нужно выполнить, чтобы получить соответствующие значения функции . Функция считается заданной, если дано соответствие между множествами , о котором говорится в определении, а выражено это соответствие формулой или как-то иначе не является существенным.

Если функция задана формулой вида то говорят, что она задана аналитическим выражением, например, .

Однако, функция может задаваться и иначе. В частности, на разных участках области определения она задается различными аналитическими выражениями, например:

Более того, часто при задании функции вообще не указывают ее аналитического выражения. Так, функция может быть задана таблицей, в которой выписаны ряд значений аргумента и соответствующие им значения функции. Например, таблицы логарифмов и тригонометрических функций. Такой способ задания функции называется табличным. Обычно он используется в естествознании как результат некоторого наблюдения.

Можно задать функцию и при помощи некоторого словесного описания закона соответствия, позволяющему по заданному значению аргумента из области определения функции находить соответствующие значения функции. Такой способ задания функции называется словесным. Приведем примеры словесного задания функции.

1. Функция равна наибольшему целому числу, не превосходящему . Символически эту функцию записывают так: и читают равна антье от . Очевидно, если , то , если .

2. Функция равна единице, если рациональное число и равна нулю, если - иррациональное число. Эта функция носит имя математика Дирихле и записывается так:

Часто приходится встречаться с функциями, заданными аналитически, но для которых не указана явно область определения. В этих случаях находят область естественного определения функции, т.е. множество всех действительных значений аргумента, при которых аналитическое выражение функции принимает действительные значения. Например, для функции ее аналитическое выражение принимает действительные значения, если или

Пусть на множестве определена функция (отображение) с множеством значений во множестве .

Как было указано, графиком функции называется множество .

В частности, если функция есть действительная функция действительной переменной, то ее графиком будет множество всех пар действительных чисел, где принадлежит области определения функции, а – соответствующее значение функции.

Но с геометрической точки зрения упорядоченная пара действительных чисел определяет точку на плоскости с абсциссой и ординатой . Следовательно, графиком действительной функции действительной переменной является множество всех точек плоскости , абсциссы которых принадлежат области определения функций, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Часто, графиком функции оказывается некоторая линия на плоскости. Так, функция имеет своим графиком параболу, а функция , где – некоторые постоянные, имеет своим графиком прямую линию.

Однако не всякая линия может быть графиком функции, а только такая, которая пересекается каждой вертикальной прямой не более, чем в одной точке. В противном случае нарушается та однозначность, которая принята в определении функции. Например, кривая не может служить графиком функции, так как для всех переменная имеет два значения.

Заметим, что график функции может состоять из кусков различных кривых (например, график функции [x] (рис.7)), или даже из отдельных изолированных точек.

0

-2

-1

-3

-2

-1

2

1

3

2

1

x

Рис. 7

Очевидно, что функция будет задана, если задан ее график. Такой способ задания функции принято называть графическим. Достоинством этого способа является наглядность.

Пусть функция определена на множестве , а функция определена на множестве .

Предположим, что пересечение множеств непусто и .

Определение 1. Функции называются равными на множестве , если для всякого равны их значения, т.е.

Определение 2. Суммой функций на множестве называется функция , которая для каждого принимает значение, равное сумме значений функций .

Аналогично определяются разность, произведение, частное двух функций. При этом частное двух функций есть функция, определенная в тех точках , где функция – делитель отлична от нуля.

Так, функция определена в области

Лекция 6