§7. Функции и их общие свойства.

Пусть – два произвольных множества и пусть каким-то способом каждому элементу поставлен в соответствие один и только один элемент Y. Тогда соответствие называется функцией с областью определения и областью значений, лежащей в . При этом называют аргументом, – значением функции, а – функцией, или отображением. Кроме того, называют образом элемента , а , соответственно, прообразом элемента .

Подчеркнем, что в определении функции (отображения) нет надобности, чтобы каждый был образом некоторого , и не требуется, чтобы различным соответствовали разные значения

Проиллюстрируем это на конкретном отображении.

П

d

b

у

O

Y

K

усть – это множество точек окружности, а – множество точек прямой, касающейся окружности (рис.6).

L

с

Рис.6

Восставим из точки касания перпендикуляр и выберем на нем произвольную точку O, лежащую вне круга. Возьмем на окружности произвольную точку и проведем из точки O луч, проходящий через точку до пересечения с прямой . Точку пересечения луча с прямой обозначим через . Поставим в соответствие точке точку .

Нами построено отображение окружности в прямую. Очевидно, что при заданном отображении окружность переходит в отрезок [c,d]. Отсюда следует, что если взять точку , лежащую на прямой вне отрезка [c,d], то она не будет образом никакого

Из чертежа видно, что при заданном отображении две разные точки окружности переходят в одну точку b на прямой.

Введем следующие определения:

Определение 1. Совокупность всех элементов из , образом которых является элемент называется полным прообразом элемента и обозначается .

В нашем примере .

Определение 2. Пусть A- некоторое множество из X. Совокупность всех элементов вида , где называется образом при отображении и обозначается

В нашем примере образом дуги является отрезок [y,b], т.е.

Определение 3. Для каждого множества B из Y его полный прообраз есть совокупность всех тех элементов из X, образы которых принадлежат B.

Ясно, что . В нашем примере полный прообраз отрезка [y,b] является , т.е. .

Из определения полного прообраза множества вытекают два соотношения:

1. ;

2. 

Первое соотношение – это просто символическая запись определения полного прообраза. Второе легко проверяется, проиллюстрируем его на нашем примере. Пусть . Тогда но .

В определении функции (отображения) подчеркивалось, что нет надобности, чтобы каждый был образом некоторого . Таким образом, не исключена возможность, что у некоторых полные прообразы будут пустые множества, это как раз и означает, что в такие элементы никакие не переходят. Может оказаться, что все множество состоит из элементов, которые не имеют прообразов (в нашем примере отрезок [K,L]) тогда и полный прообраз будет пустым множеством.

Будем говорить, что есть отображение множества «на» множество , если ; в общем случае, т.е. когда , говорят, что – есть отображение «в»

Рассмотрим основные свойства функций.

Теорема 1. Полный прообраз объединения двух множеств равен объединению их полных прообразов: .

Доказательство: Пусть . Очевидно, что или или что и требовалось доказать.

Теорема 2. Полный прообраз пересечения двух множеств равен пересечению их полных прообразов: .

Доказательство: Пусть . Очевидно, что , что и требовалось доказать.

Теорема 3. Образ объединения двух множеств равен объединению их образов .

Доказательство: Если то существует . Так как или , то , что и требовалось доказать.

Заметим, что для пересечения множеств утверждения, аналогичного теореме 3, вообще говоря, нет. Так, в приведенном выше примере, дуги и не пересекаются, а их образы совпадают.

Рассмотрим несколько понятий, применяемых в теории функций.

Пусть заданы две функции (отображения): , отображающая множество X во множество Y, и , отображающая множество в множество .

Определение 1. Функция называется сужением на и . При этом называется продолжением X.

Таким образом, сужение на – это функция, определяемая тем же законом, что и но не для всех , а только для Принято обозначение .

Пусть заданы два отображения: – множества в множество и – множества в множество

Определение 2. Композицией функций или сложной функцией называется функция с областью определения X и множеством значений в Z, определяемая равенством

Для композиции функций принято обозначение .

Видно, что при задании композиции функций (отображений) образ первого отображения входит в полный прообраз второго, т.е. значения первой функции служат аргументами для второй функции Элементы называют промежуточными аргументами.

Аналогично можно определить сложные отображения, являющиеся композицией трех и большего числа функций.

Определение 3. Графиком отображения множества X в Y называется подмножество декартова произведения состоящее из всевозможных пар .

В частности, когда X и Y – это множества точек числовой оси, график функции – это множество точек плоскости с абсциссами x и ординатами .

Очевидно, график сужения является подмножеством графика .

Лекция 5