§3. Изображение действительных чисел на прямой.

Геометрическое представление множества рациональных чисел может быть получено следующим образом. На некоторой прямой линии (рис.1) выбираем точку О в качестве начала отсчета, положительное направление и единичный отрезок – масштаб.

-3 -2 -1 1 2 3

O

A

Рис.1

После этого выбора прямая называется числовой осью. Обычно числовую ось располагают горизонтально, а за положительное направление берут направление слева направо.

Целые числа на числовой оси изображаются точками, отстоящими от точки О на соответствующее целое число единиц масштаба, нуль изображается точкой О. Если отрезки между этими точками разделить на n равных частей, то получим точки, изображающие рациональные числа . Придавая n всевозможные натуральные значения, получим в результате множество точек на числовой оси, изображающих всевозможные рациональные числа, или короче, множество рациональных точек оси. Равные рациональные числа, очевидно, изображаются одной и той же точкой, а неравные – различными точками, причем большее число изображается точкой, лежащей правее.

Исчерпывают ли рациональные точки множество всех точек оси? Пусть отрезок OA является диагональю квадрата со стороной, равной единице масштаба.

Если x длина отрезка ОА в единицах масштаба, то по теореме Пифагора должно выполняться равенство . Но, как было показано выше, x не может быть рациональным числом. Следовательно, точка A не является рациональной, и множество рациональных точек не заполняет всю числовую ось.

Важным следствием введения иррациональных чисел является тот факт, что каждой точке числовой оси единственным образом соответствует некоторое действительное число и наоборот. Действительно, пусть A точка на числовой оси (рис.2) не является рациональной точкой.

A

Рис.2

Пусть для определенности A лежит на положительной полуоси. Найдется целое неотрицательное число такое, что A лежит между точками и . Разделим отрезок между и на десять равный частей, найдем точки и между которыми лежит точка A. Аналогично найдем точки и и т.д. В результате этого процесса найдется иррациональное число соответствующее точке А. Верно и обратное, для каждого действительного числа можно найти соответствующую точку А на числовой оси.

Тесная связь между действительными числами и точками числовой оси приводит к тому, что в дальнейшем между понятиями «действительное число» и «точки числовой оси» не делается различия, а изучение числовых множеств становится равносильным изучению точечных множеств на оси.

§4. Основные свойства множества действительных чисел.

Приведем без доказательства совокупность основных свойств множества . Эта совокупность интересна тем, что может быть принята за систему аксиом, из которой как следствие выводится вся теория действительных чисел.

1. Для любых однозначно сопоставлен элемент из , называемый суммой , причем для любых :

1. / коммутативность сложения/;

2. / ассоциативность сложения/;

3. / свойство нуля/;

4. / свойство противоположного числа/;

Для любых однозначно сопоставлен элемент из , называемый произведением и обозначаемый , причем для любых :

1. / коммутативность умножения/;

2. / ассоциативность умножения/;

3. / свойство единицы/;

4. / существование обратного числа/;

5. Для сложения и умножения имеет место дистрибутивность, т.е. для любых

2. Для любых выполнено, по крайней мере, одно неравенство: или или , причем для любых :

1. / рефлексивность/;

2. и / закон тождества/;

3. и / транзитивность/;

4. / сохранение неравенства/;

5. и / правило знаков/.

3. / Теорема Архимеда/.

4. Теорема Дедекинда о свойстве полноты или непрерывности.

Пусть , где A и B – два непустых непересекающихся множества таких, что (рис.3). Тогда существует с такое, что .

A

B

c

Рис.3

О множествах A и B говорят, что они образуют дедекиндово сечение, а о числе с, что оно производит сечение. Это число принадлежит либо A, либо B. В первом случае с в A наибольшее (при этом в B наименьшего числа нет), а во втором случае с в B наименьшее (при этом в A нет наибольшего числа). Единственность очевидна.

Заметим, что множество рациональных чисел обладает свойствами I – V, но свойством полноты не обладает. Действительно, пусть, например, B-множество положительных рациональных чисел, квадрат которых больше, чем 2, а A- остальные рациональные числа. Тогда B и A, как нетрудно видеть, образуют дедекиндово сечение множества рациональных чисел. Но числа с, производившего сечение, среди рациональных чисел нет, так как для этого числа должно быть . Следовательно, свойство полноты является результатом введения иррациональных чисел. Существуют и другие формулировки свойства полноты , эквивалентные теореме Дедекинда. Они будут рассмотрены ниже.

Лекция 3