§2 Множество действительных чисел.

Математический анализ является аппаратом для изучения различных процессов, в ходе которых изменяются изучаемые величины (длина, скорость, температура и т.д.).

Эти величины характеризуются числами (численными значениями). Поэтому понятие числа играет важнейшую роль в математическом анализе.

Понятие числа прошло длинный путь развития. Вначале в связи с необходимостью пересчета конкретных предметов возникли простейшие числа – натуральные числа. «Бог создал натуральные числа, все прочее – творение человека» - этими словами немецкий математик Леопольд Кронекер (1823-1897) определил тот прочный фундамент, на котором может быть построено здание математики.

Множество этих чисел бесконечно и образует натуральный ряд чисел =

Операция вычитания натуральных чисел привела к множеству целых чисел

.

Операция деления целых чисел привела к множеству рациональных чисел, т.е. чисел вида , где p и q целые числа, причем q Два рациональных числа и считаются равными, если . Поэтому каждое рациональное число можно единственным образом представить в виде несократимой дроби , где p и q взаимно простые числа и q , например, .

Рациональные числа обладают следующими простейшими свойствами:

1. Арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление, кроме деления на нуль) над рациональными числами приводят снова к рациональным числам;

2. Множество рациональных чисел упорядочено, т.е. для любой пары рациональных чисел a и b справедливо одно из двух: либо a больше b (a>b, иначе b<a), либо b больше a (b>a, иначе a<b);

3. Множество рациональных чисел плотно, т.е. для любой пары различных рациональных чисел a и b, a<b существует промежуточное число c, a<c<b, например, таким числом будет . Очевидно, промежуточных рациональных чисел для a и b бесконечное множество.

Множество рациональных чисел достаточно для решения многих задач. Так уравнение первой степени с целыми коэффициентами () разрешимо во множестве рациональных чисел. Однако, простейшее квадратное уравнение , где n натуральное число, уже не всегда разрешимо во множестве рациональных чисел.

Покажем, например, что неразрешимо уравнение , т.е. среди рациональных чисел нет числа, квадрат которого равен 2.

Для доказательства предположим противное. Пусть искомое число – это , т.е. =2.

Дробь будем считать несократимой, так как в противном случае ее всегда можно сократить. Из равенства следует, что число , а поэтому и m, четное: . Тогда =2 или . Отсюда следует, что n число четное, т.е. m и n не взаимно простые числа, а это противоречит тому, что дробь – несократимая. Итак, наше предположение о том, что существует рациональное число, квадрат которого равен 2, неверно.

Множество рациональных чисел обозначается через . Так как множество рациональных чисел недостаточно для решения ряда задач, то это привело к необходимости введения новых чисел, названных иррациональными.

Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел называют множеством действительных чисел и обозначают через .

Существуют различные способы введения иррациональных чисел. Укажем один из них, основанный на понятии бесконечной десятичной дроби.

Каждое положительное рациональное число по известным правилам арифметики можно превратить в десятичную дробь где – целая часть десятичного разложения, - десятичные знаки (цифры). При этом получаются либо конечные десятичные дроби (дроби с нулем в периоде)

,

либо бесконечные периодические дроби:

(набор цифр , из которых не все равны нулю, периодически повторяется). Первый случай сводится ко второму, так как

Равным рациональным числам, очевидно, соответствуют одинаковые бесконечные периодические дроби. Отрицательному числу - соответствует десятичное разложение числа минус, а нулю разложение – 0,000…0....

Итак, каждому рациональному числу, отличному от нуля, единственным образом соответствует бесконечная периодическая дробь, не содержащая нуля в периоде.

Существуют непериодические десятичные дроби, например, 0,121121112… или 0,1010010001.… Такие дроби и принимаются в качестве иррациональных чисел.

Таким образом, каждому действительному числу единственным образом соответствует бесконечная десятичная дробь: периодическая, если число рациональное, и непериодическая, если число иррациональное.

Для действительных чисел по десятичным разложениям естественно определяются равенство и сравнение при помощи знаков , (строгих неравенств) или знаков (нестрогих неравенств).

Так для положительных чисел и имеем:

, если ;

().

Если отрицательно, а положительно, то и

Для каждого иррационального числа рациональные числа являются приближениями (одно с недостатком, а другое с избытком) с точностью до Используя рациональные приближения иррациональных чисел с различными точностями, можно для всех действительных чисел ввести арифметические операции и изучить свойства этих операций. Подробно этот вопрос мы рассматривать не будем.