§26 Бесконечно большие функции
Определение. Пусть функция
определена на множестве E.
Если
,
то говорят, что функция
есть бесконечно большая в точке
или что предел
(
,
если
в некоторой окрестности точки
или
,
если
в некоторой окрестности точки
).
Например, функция
бесконечно большая в точке
,
причем
.
Между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями существует определенная связь.
Теорема. Если функция
в точке
- бесконечно большая, то в некоторой
окрестности точки
определена функция
и она является бесконечно малой в точке
.
Если функция
в точке
- бесконечно малая и
в некоторой окрестности точки
,
то функция
в точке
является бесконечно большой.
Доказательство. Возьмем
произвольное положительное число
.
Тогда
также будет произвольным положительным
числом.
Так как
- бесконечно большая, то
или
,
а это и означает, что функция
- бесконечно малая.
Аналогично доказывается вторая часть теоремы.
В связи с этой теоремой приняты следующие
символические записи:
,
.