§15. Понятие предела числовой последовательности.

По определению, число называют пределом числовой последовательности , если

(1)

Неравенство эквивалентно двум неравенствам: . Геометрически это означает, что начиная с некоторого номера , члены последовательности попадают в - окрестность точки и в дальнейшем из нее не выходят.

Тот факт, что число есть предел последовательности записывают так: .

Последовательность называют сходящейся, если она имеет предел, в противном случае расходящейся. Среди расходящихся последовательностей выдели те, для которых

.

В этом случае записывают . Если вместо будут неравенства , то пишут . Обо всех таких последовательностях говорят, что они имеют бесконечный предел.

Покажем, что последовательность сходящаяся и имеет своим пределом 0. Действительно, при любом , если взять , т.е. .

Очевидно, последовательность расходится, точнее .

Установим связь между понятиями предельной точки числового множества и предела числовой последовательности.

Теорема. Для того чтобы точка была предельной для числового множества E, необходимо и достаточно, чтобы из этого множества можно было выделить последовательность различных точек такую, что .

Доказательство.

1) Достаточность. Пусть из множества E можно выделить последовательность различных точек такую, что . Но тогда по определению предела числовой последовательности справедлива формула (1). Это означает, что все члены последовательности начиная с некоторого номера , содержатся в - окрестности точки , а поэтому точка является предельной для множества E.

2) Необходимость. Пусть точка - предельная для множества E. Тогда всякий интервал, ее содержащий, содержит бесконечное множество точек E.

Возьмем интервал и выберем в нем точку , отличную от . Аналогично в интервале выберем в нем точку отличную от точек . Продолжая этот процесс, на ом шаге возьмем интервал и выберем точку отличную от точек . Продолжим этот процесс до бесконечности. В результате из множества E будет выделена последовательность различных точек, для которой, очевидно будет .

Доказанная теорема позволяет дать определение предельной точки в другой форме.

Определение. Точка называется предельной точкой множества E, если из этого множества можно выделить последовательность различных точек , сходящуюся к точке

Такой подход к понятию предельной точки позволяет теорему Больцано-Вейерштрасса сформулировать в терминах числовых последовательностей.

Теорема Больцано-Вейерштрасса. Из всякой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Действительно, если среди членов данной последовательности бесконечно много одинаковых, то они образуют указанную подпоследовательность, если же бесконечно много различных, то для доказательства следует воспользоваться прежней редакцией теоремы.

Лекция 9

§16. Основные теоремы о пределах последовательностей.

Ясно, что стационарная последовательность имеет предел . Поэтому будем говорить, что предел постоянной равен самой постоянной.

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Доказательство. Предположим противное. Пусть последовательность имеет два предела и . Тогда

(2)

(3)

Для неравенства (2) и (3) выполняются одновременно. Рассмотрим при условии

.

Итак, . Но - произвольное положительное число, а поэтому или .

Теорема 2. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказательство. Пусть последовательность имеет предел . Тогда Из последнего равенства следует, что или для всех . Рассмотрим неотрицательные числа . Обозначим через M наибольшее из них. Тогда для всех , и, следовательно, последовательность ограничена.

Теорема 3. Если последовательность имеет предел, отличный от нуля, то последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть где и для конкретности . Тогда . При этом . Если взять , то . Тогда для всех . Отсюда и следует ограниченность последовательности .

Теорема 4. Если последовательности и имеют пределы, то последовательность также имеет предел, который равен сумме пределов последовательностей и .

Доказательство. Пусть и . Но тогда и . Если , то для всех будут одновременно выполняются оба неравенства. Тогда имеем:

, а это значит, что есть предел последовательности , т.е. .

Теорема 5. Если последовательности и имеют пределы, то последовательность также имеет предел, равный произведению пределов последовательностей и .

Доказательство: Пусть и . Докажем, что последовательность имеет предел . Оценим выражение:

(4)

Но так как , то (5)

По теореме 2 последовательность ограничена, т.е.

(6)

Так как , то (7)

Если положить , то для всех неравенства (5), (6), (7) будут выполняться одновременно. При этом из неравенства (4) получаем:

. Следовательно, .

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела. .

Теорема 6. Если пределы последовательностей и существуют, причем предел последовательности отличен от нуля, то предел последовательности также существует и равен частному от деления пределов последовательностей и

Доказательство: Рассмотрим сначала частный случай. Покажем, что если . Так как , то последовательность по теореме 3 ограничена, т.е.

Но (9)

Если , то для всех неравенства (8), (9) будут выполняться одновременно. При этом

. Следовательно, , а поэтому

Для доказательства общего случая достаточно учесть, что

.

Теорема 7 (предел промежуточной последовательности). Если две последовательности и имеют один и тот же предел A, а последовательность такова, что для всех , то последовательность также имеет предел A.

Доказательство. Так как и , то . Если , то для неравенства и выполняются одновременно.

При этом одновременно и . Но из условия теоремы . Следовательно, или при всех . Значит, .

Теорема 8. Если последовательность имеет предел и все ее члены, начиная с некоторого номера , неположительные, то предел последовательности не может быть положительным числом.

Доказательство Допустим противное. Пусть . Тогда или . Но для всех , , а это протичворечит тому, что начиная с некоторого номера .

Следствие 1. Если последовательности и имеют пределы и, начиная с некоторого номера, выполняются неравенства .

Доказательство. Так как последовательности и имеют пределы, то их разность, т.е. последовательность также имеет предел. Но , начиная с некоторого номера , а поэтому . Отсюда .

Следствие 2. Если последовательность имеет предел и, начиная с некоторого номера , имеет место неравенство , то .

Это утверждение – частный случай предыдущего следствия.

Теорема 9. Если последовательность имеет предел и , то для всех , начиная с некоторого номера, справедливо неравенство .

Доказательство: Положим . Так как , то найдется такое , что для всех будет выполняться неравенство . Откуда или , т.е.

Лекция 10