- •Дисциплина «Математический анализ»
- •Раздел I. Введение в анализ
- •§1 Понятие множества. Теоретико-множественные отношения и операции. Декартово произведение.
- •Способы задания множеств
- •Теоретико-множественные отношения
- •Подмножества
- •Теоретико-множественные операции
- •§2 Множество действительных чисел.
- •§3. Изображение действительных чисел на прямой.
- •§4. Основные свойства множества действительных чисел.
- •§5. Модуль действительного числа.
- •Модуль действительного числа обладает свойствами:
- •§6. Числовые множества.
- •§7. Функции и их общие свойства.
- •§8. Действительная функция действительной переменной.
- •§9. Некоторые типы поведения действительных функций действительной переменной. Функции монотонные и кусочно-монотонные.
- •Функции четные и нечетные.
- •Периодические функции.
- •Функции ограниченные и неограниченные.
- •§10. Обратная функция.
- •§11. Числовые последовательности..
- •§12. Принцип вложенных отрезков.
- •§13. Бесконечные десятичные дроби.
- •§14. Предельная точка множества. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •§15. Понятие предела числовой последовательности.
- •§16. Основные теоремы о пределах последовательностей.
- •§17. Предел монотонной последовательности. Число «e».
- •§18. Критерий Коши.
- •§19. Верхний и нижний пределы.
- •§20. Понятие предела функции.
- •§21. Основные теоремы о пределах функции в точке
- •§22. Предел функции по множеству. Предел на бесконечности.
- •§23. Первый замечательный предел.
- •§24. Второй замечательный предел.
- •§25. Бесконечно малые функции и их сравнения
- •§26 Бесконечно большие функции
§14. Предельная точка множества. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
Пусть E – множество, расположенное на числовой оси, и точка . Любой интервал, содержащий точку , будем называть окрестностью точки .
Интервал , где , будем называть - окрестностью точки и символически обозначать
Если , то это равносильно неравенству .
Определение. Точка называется предельной точкой множества E, если любая ее окрестность содержит хотя бы одну точку множества E, отличную от точки .
Заметим, что сама точка может принадлежать, а может и не принадлежать множеству E.
Если точка , но не является предельной, то она называется изолированной. Иначе говоря, точка называется изолированной точкой этого множества, если существует окрестность точки , не содержащая точек множества E, отличных от .
Теорема 1. Если предельная точка множества E, то любая ее окрестность содержит бесконечное множество точек E.
Доказательство: Предположим противное. Пусть – предельная точка, а некоторая ее окрестность содержит конечное множество точек E, отличных от . Обозначим их . Пусть . Тогда - окрестность точки не будет содержать ни одной точки множества E, отличной от и, следовательно, точка не будет предельной.
В определении предельной точки требовалось, чтобы в любой ее окрестности нашлась хотя бы одна точка множества E, отличная от точки .
Из этого требования вытекает, что в действительности в любой окрестности предельной точки будет бесконечно много точек множества E. Отсюда следует, что конечные точечные множества предельных точек не имеют.
Приведем примеры предельных и изолированных точек.
-
Пусть , где (рис.15).
Рис. 15
Множество E имеет две предельные точки . Обе они не принадлежат E. Точки множества E «сгущаются» у точек 1 и -1 (поэтому предельные точки множества E часто называют точками сгущения множества E). Точка 0 (как и все точки E) – изолированная точка. Заметим, что все остальные точки множества E , будут изолированными.
В рассмотренном примере точка является нижней гранью (она не принадлежит E, но является для E предельной), а верхней гранью является точка , которая принадлежит E, но не является для E предельной.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Если верхняя (нижняя) грань не принадлежит множеству, то она является для этого множества предельной точкой.
Для доказательства этой теоремы достаточно сопоставить определения верхней (нижней) грани и предельной точки.
Рассмотрим другие примеры предельных и изолированных точек.
-
Пусть , где . Точка является предельной точкой множества E. Действительно, любая окрестность содержит хотя бы одну точку множества E. Такой точкой будет точка , если , и достаточно взять Все точки множества E являются изолированными.
-
Пусть . Здесь всякая точка является предельной. В самом деле, любая окрестность точки содержит точки отрезка. Кстати, здесь все предельные точки принадлежат множеству E.
-
Пусть Здесь все точки E будут предельными, но кроме того, будут предельными и точки a, b. В отличие от других предельных точек, они не принадлежат множеству E.
-
Пусть . Это множество предельных точек не имеет. Все его точки изолированные.
Множество предельных точек множества E принято обозначать через .
Точки множества E и его предельные точки принято называть точками прикосновения для множества E, а их совокупность обозначают через Очевидно,
Последний пример показывает, что не всегда бесконечное множество имеет предельные точки. Следующая теорема устанавливает класс бесконечных множеств, имеющих предельные точки.
Теорема 3. (Больцано-Вейерштрасса). Всякое бесконечное ограниченное множество имеет хотя бы одну предельную точку.
Доказательство. Так как E ограничено, то можно указать отрезок , содержащий множество E. Положим . Тогда хотя бы один из отрезков содержит бесконечное множество точек E. Обозначим его через Отрезок вновь разделим пополам и обозначим через ту половину, которая содержит бесконечное множество точек E. Продолжая процесс, мы получим бесконечную последовательность вложенных отрезков , каждый из которых содержит бесконечное множество точек E. Так как длина отрезка равна , то для любого положительного числа найдется , что для всех .
Следовательно, по теореме Кантора существует единственная точка , общая точка для всех отрезков .
Докажем теперь, что точка предельная точка множества E.
Рассмотрим произвольный интервал , содержащий точку При достаточно большом .Так как отрезок содержит бесконечное множество точек E, то и интервал содержит бесконечное множество точек E. Значит, точка - предельная для множества E.
Итак, отметим:
-
Множество E может иметь не одну предельную точку (пример 3).
-
Предельная точка может и не принадлежать множеству E (пример 2).
-
Оба условия теоремы существенны. Пример 5 показывает, что существуют неограниченные бесконечные множества, не имеющие предельных точек, а конечные множества, как было показано, предельных точек не имеют.