§14. Предельная точка множества. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Пусть E – множество, расположенное на числовой оси, и точка . Любой интервал, содержащий точку , будем называть окрестностью точки .

Интервал , где , будем называть - окрестностью точки и символически обозначать

Если , то это равносильно неравенству .

Определение. Точка называется предельной точкой множества E, если любая ее окрестность содержит хотя бы одну точку множества E, отличную от точки .

Заметим, что сама точка может принадлежать, а может и не принадлежать множеству E.

Если точка , но не является предельной, то она называется изолированной. Иначе говоря, точка называется изолированной точкой этого множества, если существует окрестность точки , не содержащая точек множества E, отличных от .

Теорема 1. Если предельная точка множества E, то любая ее окрестность содержит бесконечное множество точек E.

Доказательство: Предположим противное. Пусть – предельная точка, а некоторая ее окрестность содержит конечное множество точек E, отличных от . Обозначим их . Пусть . Тогда - окрестность точки не будет содержать ни одной точки множества E, отличной от и, следовательно, точка не будет предельной.

В определении предельной точки требовалось, чтобы в любой ее окрестности нашлась хотя бы одна точка множества E, отличная от точки .

Из этого требования вытекает, что в действительности в любой окрестности предельной точки будет бесконечно много точек множества E. Отсюда следует, что конечные точечные множества предельных точек не имеют.

Приведем примеры предельных и изолированных точек.

1. Пусть , где (рис.15).

Рис. 15

Множество E имеет две предельные точки . Обе они не принадлежат E. Точки множества E «сгущаются» у точек 1 и -1 (поэтому предельные точки множества E часто называют точками сгущения множества E). Точка 0 (как и все точки E) – изолированная точка. Заметим, что все остальные точки множества E , будут изолированными.

В рассмотренном примере точка является нижней гранью (она не принадлежит E, но является для E предельной), а верхней гранью является точка , которая принадлежит E, но не является для E предельной.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Если верхняя (нижняя) грань не принадлежит множеству, то она является для этого множества предельной точкой.

Для доказательства этой теоремы достаточно сопоставить определения верхней (нижней) грани и предельной точки.

Рассмотрим другие примеры предельных и изолированных точек.

2. Пусть , где . Точка является предельной точкой множества E. Действительно, любая окрестность содержит хотя бы одну точку множества E. Такой точкой будет точка , если , и достаточно взять Все точки множества E являются изолированными.

3. Пусть . Здесь всякая точка является предельной. В самом деле, любая окрестность точки содержит точки отрезка. Кстати, здесь все предельные точки принадлежат множеству E.

4. Пусть Здесь все точки E будут предельными, но кроме того, будут предельными и точки a, b. В отличие от других предельных точек, они не принадлежат множеству E.

5. Пусть . Это множество предельных точек не имеет. Все его точки изолированные.

Множество предельных точек множества E принято обозначать через .

Точки множества E и его предельные точки принято называть точками прикосновения для множества E, а их совокупность обозначают через Очевидно,

Последний пример показывает, что не всегда бесконечное множество имеет предельные точки. Следующая теорема устанавливает класс бесконечных множеств, имеющих предельные точки.

Теорема 3. (Больцано-Вейерштрасса). Всякое бесконечное ограниченное множество имеет хотя бы одну предельную точку.

Доказательство. Так как E ограничено, то можно указать отрезок , содержащий множество E. Положим . Тогда хотя бы один из отрезков содержит бесконечное множество точек E. Обозначим его через Отрезок вновь разделим пополам и обозначим через ту половину, которая содержит бесконечное множество точек E. Продолжая процесс, мы получим бесконечную последовательность вложенных отрезков , каждый из которых содержит бесконечное множество точек E. Так как длина отрезка равна , то для любого положительного числа найдется , что для всех .

Следовательно, по теореме Кантора существует единственная точка , общая точка для всех отрезков .

Докажем теперь, что точка предельная точка множества E.

Рассмотрим произвольный интервал , содержащий точку При достаточно большом .Так как отрезок содержит бесконечное множество точек E, то и интервал содержит бесконечное множество точек E. Значит, точка - предельная для множества E.

Итак, отметим:

1. Множество E может иметь не одну предельную точку (пример 3).

2. Предельная точка может и не принадлежать множеству E (пример 2).

3. Оба условия теоремы существенны. Пример 5 показывает, что существуют неограниченные бесконечные множества, не имеющие предельных точек, а конечные множества, как было показано, предельных точек не имеют.