§12. Принцип вложенных отрезков.

Приведем здесь еще одну формулировку свойства полноты , известную под названием принципа вложенных отрезков.

Теорема Кантора. Для последовательности отрезков таких, что каждый следующий вложен в предыдущий существует число, принадлежащее всем отрезкам.

Доказательство: Разобьем множество всех действительных чисел на два множества A и B. К A отнесем такие числа , что хотя бы при одном будет выполнено неравенство , а к B – все остальные числа (рис. 14).

…

…

Рис.14

Эти множества непустые, так как A содержит числа, меньшие , а B – все , причем A и B не пересекаются (по определению).

Рассмотрим произвольные , . По определению для любого , а для найдется номер , что . Поэтому , т.е. .

Итак, A и B образуют дедекиндово сечение. Поэтому по теореме Дедекинда существует число c производящее сечение. Предположим, что . Тогда для некоторого выполнено неравенство . По свойству плотности найдется число такое, что . Правое неравенство здесь говорит о том, что , а левое, что , что невозможно. Поэтому , откуда следует, что при любом Это означает, что c принадлежит всем отрезкам и теорема доказана.

Теорема Дедекинда, в свою очередь, может быть выведена из теоремы Кантора. Это значит, что теорема Кантора эквивалентна теореме Дедекинда и теореме о существовании граней у ограниченного числового множества.

Если последовательность вложенных отрезков такова, что для любого положительного числа найдется номер , начиная с которого длины отрезков меньше , то отрезки назовем стягивающимися.

Нетрудно видеть, что если в теореме Кантора отрезки стягиваются, то число c, о котором говорится в теореме, единственное. Действительно, если предположить, что таких числа два c и d, то мы приходим к неравенству . Так как – любое положительное число, то неравенство справедливо лишь в случае, если . Отсюда следует, что . Полученное противоречие доказывает нужное утверждение.

Интересно отметить, что для открытых и полуоткрытых промежутков утверждение теоремы Кантора, вообще говоря, неверно. Например, последовательность вложенных полуинтервалов не имеет общей точки.

§13. Бесконечные десятичные дроби.

Теорема. Всякое положительное действительное число может быть изображено с помощью бесконечной десятичной дроби, и каждой положительной бесконечной десятичной дроби соответствует одно определенное положительное число.

Доказательство: Пусть - какое-либо положительное число. На основании аксиомы Архимеда существует целое неотрицательное число , удовлетворяющее условию . Разделим отрезок на десять равных частей. Среди чисел 0, 1,2,…,9 найдется единственное число , удовлетворяющее условию . Деля теперь отрезок на десять равных частей, найдем среди чисел 0,1,2,…,9 единственное число , удовлетворяющее условию

.

Продолжая этот процесс неограниченно, получим бесконечную последовательность вложенных отрезков:

Все эти отрезки содержат точку . Так как длины этих сегментов стремятся к нулю, то по теореме Кантора точка является единственной точкой, принадлежащей всем этим сегментам. Таким образом, положительному числу поставлена в соответствие бесконечная дробь .

Покажем теперь, что каждой положительной бесконечной десятичной дроби соответствует единственное положительное число. Пусть дана положительная бесконечная десятичная дробь . Построим последовательность вложенных отрезков:

Так как длина -ого из этих отрезков равна и, следовательно, стремится к нулю при , то по теореме Кантора существует единственная точка , принадлежащая всем этим отрезкам, которую и поставим в соответствие дроби .

Доказанная теорема дает еще одну формулировку аксиомы непрерывности множества действительных чисел.

Модуль 3. Предел

Лекция 8