46 Производная сложной функции

Производная от производной первого порядка называется производной второго порядка. Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка. Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной n -1-го порядка. По определению сама функция считается производной нулевого порядка от самой себя.

; ; ... , . .

Относительно этих производных надо знать формулу Лейбница

.

Обратные тригонометрические функции.

Рассмотрим функцию y = arcsin x. На отрезке обратной к ней функцией будет x = sin y. Продифференцируем эту функцию по x, считая y функцией от x: или  (на указанном отрезке).

  Но  (еще одно следствие замечательного предела ). Если a > 0, a ≠ 1, то

При x > 0 для любого    Таким образом,

47) Нахождение производных от элементарных функций

Элементарные функции — функции, которые можно получить из основных элементарных функций (полиномиальная функция, рациональная, степенная, показательная и логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические) с помощью конечного числа арифметических действий и композиций. Каждую элементарную функцию можно задать формулой, т.е. набором конечного числа символов, отвечающих перечисленным операциям.

Производные и интегралы элементарных функций

Функция	Производная	Первообразная
Константа:
C	0	Cx + C1
Тригонометрические функции:
sin x	cos x	–cos x + C
cos x	–sin x	sin x + C
tg x
ctg x
Обратные тригонометрические функции:
arcsin x
arccos x
arctg x
arcctg x
Степенная, показательная и логарифмическая функции:
ex	ex	ex + C
ax	ax ln a
loga x
ln x		x ln x – x + C
xα, α ≠ –1

48 Бином Ньютона. Формула Ньютона-Лейбница.

Если функция f (x) интегрируема на [a; b], то для любого существует интеграл

который называется интегралом с переменным верхним пределом.

Если функция f интегрируема на [a; b], то функция F (x) непрерывна на этом отрезке.

Если функция f интегрируема на [a; b] и непрерывна в то функция F (x) дифференцируема в  причем

Если функция f непрерывна на [a; b], то на этом отрезке она имеет первообразную F вида

где C – постоянная. Всякая первообразная функции f на отрезке [a; b] удовлетворяет этой формуле.

теорема Ньютона – Лейбница: Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда

Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F (b) – F (a).

Пусть f (x) непрерывна на [a; b], g (t) имеет непрерывную производную на [α; β], Тогда если a = g (α), b = g (β), то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:

Если функции u (x) и v (x) имеют на [a; b] непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

Вычисление определенных интегралов методом, основанным на определении интеграла как предела интегральной суммы, как правило, связано с большими трудностями. Существует более удобный метод, который основан на связи между неопределенным и определенным интегралами.

Теорема. Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при верхнем и нажнем пределах интеграла

Эта формула открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, поскольку задача вычисления опред.интеграла сводится к задаче исчисления неопред.интеграла, которая достаточно полно изучена.