52.Геометрический смысл дифференциала функции.
Рассмотрим функцию y=f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой произвольную точку M(x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через α угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox. Дадим независимой переменной x приращение Δx, тогда функция получит приращение Δy = NM1. Значениям x+Δx и y+Δy на кривой y = f(x) будет соответствовать точка
M1(x+Δx; y+Δy).
Из ΔMNT находим NT=MN·tg α. Т.к. tg α = f '(x), а MN = Δx, то NT = f '(x)·Δx. Но по определению дифференциала dy=f '(x)·Δx, поэтому dy = NT.
Таким образом, дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x и Δx, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х.
53.Связь дифференциала и производной функции.
Имеется тесная связь между дифференциалом функции и её производной. Для того чтобы функция от одного переменного y = f (x) имела в точке x0 дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке (конечную) производную f" (x0), и справедливо равенство dy = f" (x0) dx. Наглядный смысл этого предложения состоит в том, что касательная к кривой y = f (x) в точке с абсциссой x0 как предельное положение секущей является также такой прямой, которая в бесконечно малой окрестности точки x0 примыкает к кривой более тесно, чем любая другая прямая. Таким образом, всегда А (х0) = f" (x0); запись dy/dx можно понимать не только как обозначение для производной f" (x0), но и как отношение дифференциалов зависимого и независимого переменных. В силу равенства dy = f" (x0) dx правила нахождения дифференциалов непосредственно вытекают из соответствующих правил нахождения производных.
54.Свойства дифференциала.
Отметим основные свойства дифференциала, которые аналогичны свойствам производной.
d c = 0;
d(c u(x)) = c d u(x);
d(u(x) ± v(x)) = d u(x) ± d v(x);
d(u(x) v(x)) = v(x) d u(x) + u(x)d v(x);
d(u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v2(x).
Укажем еще на одно свойство, которым обладает дифференциал, но не обладает производная. Рассмотрим функцию y = f(u), где u = f (x), то есть рассмотрим сложную функцию y = f(f(x)). Если каждая из функций f и f являются дифференцируемыми, то производная сложной функции согласно теореме ( 3) равна y' = f'(u)· u'. Тогда дифференциал функции
dy = f'(x)dx = f'(u)u'dx = f'(u)du,
так как u'dx = du. То есть dy = f'(u)du. (5)
Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от x рассматривать функцию от переменной u. Это свойство дифференциала получило название инвариантности формы первого дифференциала.
Замечание. Отметим, что в формуле ( 4) dx = D x, а в формуле ( 5) du яляется лишь линейной частью приращения функции u.
55.Таблица дифференциалов.
60 Метод интегрирования «по частям» для вычисления неопределенного интеграла.
К
сожалению, не существует формулы,
выражающей интеграл от произведения
функций через интегралы от сомножителей.
С этим связано то обстоятельство, что,
в отличие от производных, интеграл от
элементарной функции не всегда является
элементарной функцией. Например, 
и 
-
табличные, тогда как 
не
выражается через основные элементарные
функции.
Для
того, чтобы найти интеграл от произведения
некоторого класса функций, таких,
как 
, 
, 
, 
, 
, 
и
другие, рассмотрим прием интегрирования,
обратный приему дифференцирования
произведения двух функций.
Пусть 
и 
-
две функции, имеющие непрерывные
производные 
и 
.
Найдем дифференциал произведения
функций 
и 
:
.
Взяв
неопределенный интеграл от обеих частей
этого равенства, получим: 
,
т. к. 
,
а 
,
то получаем 
,
откуда 
.
Поскольку 
уже
содержит произвольную постоянную, в
правой части полученного равенства, 
можно
опустить и записать равенство в виде:
(1)
Полученная
формула называется формулой интегрирования
по частям. Этой формулой обычно пользуются
в том случае, когда подынтегральное
выражение 
проще,
чем подынтегральное выражение 
.
Заметим,
что одно и то же подынтегральное выражение
можно различными способами записать в
виде 
.
Например, 
и
так далее. Поэтому иногда приходится
испытывать различные формы такой записи,
прежде чем метод приведет к успеху.
Обычно стараются подынтегральное
выражение разбить на части 
и 
так,
чтобы вид 
был
не сложнее, чем вид 
,
а вид 
проще,
чем вид 
.
В частности, полезно иметь в виду, что
для таких функций, как 
,
производные имеют вид более простой,
чем сами функции. Поэтому в большинстве
случаев эти функции удобно принимать
за 
.
Итак,
формула для вычисления неопределенного
интеграла «по частям»
(*)
где u(x)
и v(x)
– непрерывно дифференцируемые
функции, d(u(x))
и d(v(x))
– их
дифференциалы.
Примеры. Вычислить интегралы, применяя формулу интегрирования по частям.
1)
Вычислить 
.
Решение.
2)
Вычислить 
.
Решение.
3)
Вычислить 
Решение.
Любопытный
пример представляют интегралы, в которых
после применения формулы (1) и преобразований
в правой части получается исходный
интеграл, но с другим коэффициентом.
Тогда, приводя подобные члены, можно
прийти к алгебраическому уравнению
относительно первого интеграла, из
которого он и определяется. К таким
интегралам относятся, например,
такие: 
, 
, 
.
Примеры.
1)
Вычислим 
.
Решение.
Обозначим 
,
тогда получим уравнение
.
Решая
его, получаем 
и 
,
таким образом,
.
2)
Вычислим 
.
Решение.
еще раз применим формулу (1)
;
и 
.
.