На втором этапе к последним двум звеньям подсоединяют (n-2) звено и решают задачу оптимальной координации нагрузок по следующей целевой функции:

R₂ (X_n^*,X_n-3)=max[R₁ (X_n^*,X_n-2)+ φ_n-2(X_n-3,X_n-2)] (11)

Т.к. X_n-3 в (n-2) звено не задано, а задана только область его изменения, то как и в предыдущем случае находим оптимизирующую связь в виде:

Х _n-2^опт = Х _n-2^опт (Х_n*, Х_n-3) (12)

Последовательно решая задачу оптимизации на двух последних шагах будем иметь

R_n-1 (X_n^*,X₀)=max[R_n-2(X_n^*,X₁)+φ₁(X₀,X₁)] (13)

Оптимизирующая связь:

Х ₁^опт = Х ₁^опт (Х_n*, Х₀) (14)

На последнем шаге:

R_n (X_n^*)=max R_n-1(X_n^*,X₀) (15)

Оптимизирующая связь:

Х ₀^опт = Х ₀^опт (Х_n^*)= Х₀^* (16)

Таким образом, на последнем шаге определяется оптимизационный вход в первое звено Х₀^* и далее по этой величине, используя формулы 10,12,14, находят оптимальные значения нагрузок на всех аппаратах. В дальнейшем оптимальные значения нагрузок устанавливают как задания регулятором расходов, стабилизирующих материальный поток на входе в каждый объект. Действительно, подставляя Х₀^* в оптимизирующую связь 14, найдем Х_n^* - значение нагрузки второго аппарата и т.д.

Оптимальное управление в системе последовательно соединенных аппаратов с рециклом.

Структурная схема последовательной структуры имеет вид:

X

…

_f X₀ X₁ X₂ X_n-1 X_n X_q

В этой схеме X_i-1 , X_i - соответственно вход и выход i—звена,

X_f – общий вход системы

X_q – общий выход

Уравнение обратной связи для такой структуры запишется в виде:

X₀=X_f+αX_n (1)

X_q=X_n(1-α) (2)

α – степень рециркуляции, показывающая какая часть продукта с выхода технологической цепи поступает на ее вход

0≤ α ≤1

Задача оптимального управления последовательной схемы с рециклом может быть сформулирована следующим образом:

• найти максимум целевой функции Ф, являющейся аддитивной функцией целевых функций отдельных аппаратов:

(3)

при условиях (1) и(2), обусловленных наличием обратной связи и ограничениях на переменные .

При решении задач оптимизации последовательных систем с рециклом стараются привести систему к некоторой эквивалентной без рецикла.

При этом существуют следующие варианты:

1. X_f , X_q – не заданы, свободны (независимые)

В этом случае система по обратной связи условно разрывается, решается задача оптимизации последовательной схемы без рецикла со свободными X₀,X_n, находятся оптимальные значения X₀ ^* и X_n^*, а X_f и X_q определяются из уравнений обратной связи:

X_f^*=X₀^*-αX_n^*

X_q^*=X_n^*(1-α)

2. X_f, X_q – заданы

В этом случае решается задача оптимизации последовательной системы обычным путем. Из уравнения обратной связи определяются потоки X₀,X_n

X₀ ^*= X_f^* +α X_q^*/(1- α)

X_n^*= X_q^*/(1- α)

3. X_q – задано, X_f – свободно.

В этом случае задача решается также как для систем с заданным выходом без обратной связи. Выход определяется из уравнения

X_n= X_q/(1- α), а наличие обратной связи учитывается соответствующими уравнениями.

4. X_f– задано, X_q = X_n -свободны

В этом случае задаются X_n⁰ (первая итерация) и последовательно от конца к началу методом динамического программирования решается оптимизационная задача.

На последнем шаге решения этой задачи находят X₀⁰, далее проверяют условие

X₀⁰ = X_f + α X_n

Если условие выполняется, то решение заканчивается, если нет, то задаются другим значением X_n¹ и т.д. до тех пор, пока не будет выполнено условие (1).