Оптимальное управление в системе последовательно соединенных агрегатов.

В химической промышленности часто приходится решать задачи управления с последовательным соединением аппаратов (колонны ректификации, реакторы, экстракторы и т.д.). Последовательное соединение применяется в непрерывных производствах, т.к. оно позволяет заменить распределенность процессов во времени на распределенность процессов в пространстве.

Структурная схема процесса может быть представлена в виде:

X₀ X₁ X₂ X₃ Х_n-2 X_n-1 X_n

U₁ U₂ U₃ U _n-1 U_n

При решении задач оптимального управления в системе последовательно соединенных агрегатов эффективным является метод динамического программирования. Последовательность решения задачи будет зависеть от того, какая величина задана: вход системы Хo или ее выход Хn.

Если задан вход в систему X₀^* задача решается следующим образом:

• сначала рассматривается два первых технологических участка, функции цели которых φ₁(X₀, X₁) φ₂ (X₁, X₂)

• при их рассмотрении величину X₁, т.е. выход с первого участка определяют таким образом, чтобы при заданных Х_о и Х₂, функция цели для первых двух участков была максимальной.

(1)

В выражении (1) Хо – действительная (заданная) величина

Х₂ – свободная (переменная) величина, которая может принимать любые значения в области . Поскольку Х₂ величина переменная, то одновременно решается задача определения зависимости выходной величины первого участка от выходной величины второго участка, т.е. отыскивается оптимизационная связь

Х₁^опт= Х₁^опт (Х₀*, Х₂), (2)

На следующем шаге оптимизации к первым двум участкам присоединяют третий и определяют Х₂ т.о. чтобы функция цели для трех участков была максимальной. При этом первые два участка рассматривают как один, имеющий вход Х₀ и выход Х ₂

Выражение для оптимизационной функции записывается в виде:

(3)

Поскольку координата Х₃ меняется в диапазоне , то для случайной целевой функции (3) также находят условное оптимальное управление (оптимизационная связь):

Х₂^опт= Х₂^опт (Х₀*, Х₃), (4)

И т.д., дойдя до последнего участка находят функцию цели всей последовательной системы зависящую от входа и выхода. Функция цели при этом имеет вид:

(5)

т.к. выход системы Хn свободен, как и ранее оптимизационное значение Хn-1 находят для всего диапазона изменения Хn, т.е. находят оптимизирующую связь:

Х_n-1 ^опт = Х_n-1 ^опт (Х₀*, Х_n), (6)

Затем следует последний шаг:

- Определение Хn обеспечивающего максимум функции цели всей системы

(7)

Х_n^опт= Х_n^опт (Х₀*)= Х_n* (8)

После нахождения оптимального значения выхода на втором этапе оптимизации находят действительные оптимальные связи между технологическими параметрами, подставляя последовательно, начиная с конца оптимального значения выхода в оптимизирующие связи. Имеем: (8). Подставляя (8) в (6) находим оптимальное значение выхода (n-1) звена

Х ^* _n-1 = Х ^* _n-1 (Х₀*, Хn),

Х ^* _n-2 = Х ^* _n-2 (Х₀*, Хn-1),

……………………….

Х ^* ₂ = Х ^*₂ (Х₀*, Х*₃),

Х ^* ₁ = Х ^*₁ (Х₀*, Х*₂).

Графический пример.

Пусть в цепи имеются четыре технологических участка, используя рассматриваемые процедуры оптимизации, мы нашли условно оптимальные связи.

В том случае, когда в последней структуре задан выход системы, то задача решается в обратном порядке.

На втором этапе решения задачи найденным условным оптимальным управлениям находят действительные оптимальные связи между технологическими аппаратами. Последняя структура имеет вид:

X₀ X₁ X₂ X_n-2 X _n-1 X_n

X_nз = Х*

На первом этапе рассматриваем два последних звена и для них составляем целевую функцию в следующем виде:

(9)

В выражении (9) X_{n –1} ^* задано по условию задачи, а X_n-2 в виде числа не задано, задана область изменения X_n-2

Следовательно, задача оптимизации будет решаться при переменном X_n-2, в результате чего будет найдена первая оптимизационная связь в виде

Х _n-1^опт = Х _n-1^опт (Х_n*, Х_n-2) (10)