
- •Часть I лекционного курса "механика. Кинематика. Динамика. Лекция № 10.
- •Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.
- •Сложение гармонических колебаний с близкими периодами. Биения.
- •Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.
- •Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение.
- •Резонанс.
Часть I лекционного курса "механика. Кинематика. Динамика. Лекция № 10.
Сложение гармонических колебаний. Биения. Фигуры Лиссажу. Затухающие колебания. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент. Добротность. Вынужденные колебания. Резонанс.
Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.
Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах одновременно, поэтому возникает проблема нахождения результирующего колебания, иными словами, колебания необходимо сложить. Если использовать механическую аналогию, то колебания могут быть, как одного направления, так и различного, частоты колебаний могут быть, как одинаковыми, так и различными.
Рассмотрим сложение гармонических колебаний одного направления и одной частоты. Пусть колебания происходят вдоль оси оХ:
x1 = A1 cos ( ω0 t + φ1 )
( 10.1 )
x2 = A2 cos ( ω0 t + φ2 )
Тогда результирующее колебание будет равно алгебраической сумме обоих смещений ( т.е. сумме с учетом знака слагаемых ):
XΣ = x1 +x2 = A1 cos ( ω0 t + φ1 ) + A2 cos ( ω0 t + φ2 ) ( 10.2 )
Поскольку х1 и х2 спустя промежуток времени T0 = 2π / ω0 возвращаются к своим первоначальным значениям, то их сумма XΣ представляет собой периодическое колебательное движение с тем же самым периодом.
Для анализа характера этого движения построим векторную диаграмму ( см. рис. 10.1 ). Из рисунка 10.1 так же видно, что величина XΣ будет меняться со временем по закону: XΣ = АΣ cos ( ω0 t + φΣ ), , т.е. представлять собой гармоническое колебание с тем же самым периодом.
Амплитуда АΣ и начальная фаза φΣ этого результирующего гармонического колебания находятся из простых тригонометрических соотношений, вытекающих из векторной диаграммы ( формулы треугольника ):
Рис. 10.1. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.
,
( 10.3 )
.
( 10.4 )
Из
формулы ( 10.4 ) видно, что амплитуда
результирующего колебания
лежит в интервале значений
.
Если
фазы обоих колебаний одинаковы, т.е.
,
то
- говорят, что колебания синфазны.
Если
же
, то говорят, что колебания происходят
в противофазе.
В этом случае
и из формулы ( 10.4 ) следует, что для
амплитуды результирующего колебания
будет иметь место соотношение :
(
10.4 а )
В
частности, если таким образом складываются
два колебания с одинаковыми амплитудами,
то для
получаем, что
- оба колебания "гасят" друг друга
и как бы уничтожаются.
Сложение гармонических колебаний с близкими периодами. Биения.
Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой.
Периодическое изменение амплитуды результирующего колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.
Для простоты рассуждений положим, что амплитуды колебаний равны А=А1 =
=
А2,
а частоты соответственно равны
, причем
.
Начало отсчета выберем так, чтобы
начальные фазы обоих колебаний были
равны нулю:
.
( 10.5 ).
Используя известные тригонометрические тождества ( т.н. формулы приведения ), результирующее колебание можно записать в следующем виде:
.
( 10.6 ).
Выражение
( 10.6 ) представляет собой произведение
двух сомножителей и результирующее
колебание можно рассматривать, как
гармоническое с частотой
, амплитуда Аб
которого изменяется по гармоническому
закону:
.
( 10.7 ).
Частота
изменения Аб
в два раза больше частоты изменения
косинуса ( т.к. значение амплитуды берется
по модулю ), т.е. частота
биений равна разности частот складываемых
колебаний:
.Соответственно, период биений будет
равен
.
График результирующего колебания приведен на рис. 10.2, где сплошные жирные линии дают график результирующего колебания ( см. ф-лу 10.6 ), а огибающие их пунктирные линии – график медленно меняющейся в соответствии с уравнением ( 10.7 ) амплитуды колебаний.
Рис. 10.2. Возникновение биений при сложении колебаний с близкими частотами .(рис. 204 из Трофимовой).
Из
графика на рис. 10.2 наглядно видно, что
в те моменты времени, когда фаза1
фаза 2,
то колебания складываются и
. Поскольку частоты исходных колебаний
все же несколько отличаются друг от
друга, то спустя некоторый промежуток
времени
одно из колебаний отстанет от другого
по фазе на
радиан - фазы колебаний станут почти
противоположными и
. Именно
такое периодически повторяющееся
возрастание и убывание амплитуды
результирующего колебания и есть биения.
Биения - наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины частоты колебаний с эталонной для колебательных процессов.