Следствия из преобразований Лоренца.

1.Одновременность событий в разных системах отсчета.

Пусть в системе К в точках с координатами X₁ и X₂ в моменты времени t₁ и t₂ происходят два события. В системе К' им соответствуют координаты х₁' и х₂' , и соответственно, моменты времени t₁' и t₂ ' .

Если события в системе К происходят в одной точке ( х₁ = х₂ ) и являются одновременными ( t₁ = t₂ ), то эти события являются одновременными и пространственно совпадающими для любой инерциальной системы отсчета, поскольку х₁' = х₂' и t₁' = t₂ ' .

Если же события в системе К пространственно разобщены ( х₁ ≠ х₂ ), но одновременны ( t₁ = t₂ ), то в системе К' эти события останутся пространственно разобщёнными (х₁' ≠ х₂' ) и окажутся к тому же неодновременными ( t₂' ≠ t₁' ).

Однако, порядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.

Длительность собутий в разных системах отсчета.

Пусть в системе К в некоторой точке с координатой X, покоящейся относительно системы К, происходит событие длительностью τ = t₂ - t₁ .

Длительность этого же события в системе К' будет соответственно равна τ^/ = t₂' - t₁' . Используя преобразования Лоренца, получим, что:

( 8.17 )

Длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчёта, относительно которой эта точка неподвижна.

Пример: Часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчёта, идут медленнее покоящихся часов, т.е. ход часов замедляется в системе отсчёта, относительно которой часы движутся.

Длина тел в разных системах отсчета.

Опять рассмотрим системы К и К'. Система К' движется относительно системы К со скоростью V₀ .

Пусть в системе К' покоится стержень длиной l₀^/ = х₂' - х₁' , где х₂' и х₁' - не изменяющиеся со временем t' координаты начала и конца стержня ( индекс 0 относится к покоящемуся стержню ).

Определим длину этого стержня в системе К, относительно которой он движется со скоростью V₀ , в один и тот же момент времени t :

( 8.18 )

Длина стержня, измеренная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше длины, измеренной в системе, относительно которой стержень покоится. Т.о. линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения ( т.н. лоренцево сокращение длины ).

Релятивистский закон сложения скоростей.

Механику, основанную на постулатах Эйнштейна и преобразованиях Лоренца, в отличие от « классической » механики принято называть релятивистской ( от слова relativ – отношение ).В общем случае законы движения материальных тел в релятивистской механике существенно отличаются от законов ньютоновой механики. Рассмотрим, например, как изменится закон сложения скоростей при использовании 2-ого постулата Эйнштейна о постоянстве скорости света во всех инерциальных системах отсчёта.

Рассмотрим движение материальной точки в системе К', которая движется относительно системы К со скоростью V ( при этом необходимо отметить, что система К движется относительно системы К^/ со скоростью V₀ ! ) . Определим скорость этой же точки в системе К. Пусть в системе К движение точки в каждый момент времени t определяется координатами х, у, z, а в системе К' в момент времени t' – координатами х',у',z'. Выражения :

( 8.19 )

представляют собой проекции на оси х, у, z вектора скорости точки относительно системы К, а выражения

( 8.20 )

проекции на оси х',у',z' вектора скорости точки относительно системы К'.

Используем уже известные нам из преобразований Лоренца соотношения (система К' движется по отношению к системе К так, как показано на рис.8.1.)

; Y = Y^/ ; Z= Z^/ ; .

Ещё раз отметим, что в этих соотошениях β = V₀ / c .

Если в этих соотношениях перейти от переменных к их приращениям, т.е. х  dх и так далее, то формально ничего не изменится, поэтому:

; dY = dY^/ ; dZ= dZ^/ ; ( 8.21 )

Разделим первые три равенства на четвёртое:

( 8.22 )

( 8.23 )

( 8.24 )

Если тело движется параллельно оси 0х, его скорость V относительно системы К совпадает с V , а скорость V' относительно системы К' – со скоростью V' (остальные компоненты скоростей равны нулю). В этом случае закон сложения скоростей будет иметь вид:

. ( 8.25 )

Если V₀ << с, то V = V' + V₀ - получаем «классический» закон сложения скоростей из Ньютоновой механики. Видим, что предельный переход или принцип соответствия выполняется.

Пусть теперь имеет место другой предельный случай, когда V' =с - частица в системе К' движется со скоростью света ( с максимально возможной скоростью ). В этом случае, даже если система К' движется относительно системы К со скоростью V₀ , мы будем иметь:

( 8.26 )

- выполняется 2-й постулат Эйнштейна. Даже если V =с (ещё один предельный случай!), то получим:

( 8.27 )

• результирующая скорость V не может превысить с !