6.3. Обработка результатов косвенных измерений.

Косвенные измерения − это измерения, при которых искомое значение A находят на основании известной функции , где − значения, полученные при прямых измерениях. Их обработка и представление результатов проводятся в зависимости от наличия или отсутствия связи (корреляции) при проведении этих измерений.

Подход к решению задачи нахождения результата косвенных измерений заключается в разложении функции f (достаточно гладкой) в ряд Тейлора в окрестности [1-3] и учете только членов первого порядка малости.

Оценка результата косвенного измерения:

,

где − оценка результата i − го аргумента.

Оценка СКО случайной погрешности S() результата косвенного измерения вычисляется по формуле:

S() ≈ ,

где -1 < < 1 − оценка коэффициента корреляции между погрешностями аргументов и ;

− так называемые коэффициенты влияния i − го аргумента.

Корреляция между аргументами чаще всего возникает тогда, когда их измерения проводятся одновременно и подвергаются одинаковому влиянию внешних условий: температуры, влажности, помех и т.д. Точное определение обычно затруднено [1-3]. Часто рассматриваются случаи, когда имеется полная статистическая связь = 1 и ее полное отсутствие= 0.

При отсутствии корреляционной связи между аргументами СКО результата косвенного измерения S(), обусловленного случайными погрешностями, вычисляется по формуле:

S() = ,

где − среднее квадратическое отклонение результата измерения аргумента , рассчитанное по формуле = S/ = , а − число измерений i− го аргумента.

Для случая косвенного измерения при линейной зависимости между аргументами:

= ,

где − постоянный коэффициент i− го аргумента , m − число аргументов.

S() = ,

Если = k, и k,− константы, то определив частные производные по , подставив их в формулу для S() и разделив полученное выражение на , получим:

= = .

Здесь и − относительные среднеквадратичные отклонения случайных погрешностей результата измерения и i− го аргумента

Обычно считается, что случайные величины распределены по нормальному закону.

При большом числе измерений (более 25-30) выполненных при нахождении каждого аргумента, доверительную границу случайной погрешности результата косвенного измерения определяют по формуле

(P) = z_p S(),

здесь z_p – квантиль нормального распределения, соответствующий выбранной доверительной вероятности Р.

При меньшем числе измерений используется распределение Стьюдента, число степеней свободы которого рассчитывается по приближенной формуле:

k = ,

где n_i - число измерений при определении аргумента . В этом случае доверительная граница случайной погрешности результата косвенного измерения

(P) = t_pS(),

где t_p - коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности Р = 1-q и числу степеней свободы k.

Систематическая погрешность результата косвенного измерения определяется систематическими погрешностями результатов измерений аргументов. При измерениях их стараются исключить. До конца это сделать не удается; всегда остаются неисключенные систематические погрешности, которые рассматриваются как реализации случайной величины, имеющей равномерное распределение. Доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения (Р), в случае, когда неисключенные систематические погрешности аргументов заданы границами _i равны:

(Р) = k

где k - поправочный множитель, определяемый принятой доверительной вероятностью Р и числом m составляющих _i .Его значения приведены в таблице .

Значения коэффициента k при m > 4

Табл. 3

P	0,90	0,95	0,98	0,99
k	0,95	1,1	1,3	1,4

Если число суммируемых слагаемых m 4 и они значительно различаются между собой, то значение коэффициента k следует взять из [1-3].

Суммарная погрешность результата косвенного измерения оценивается на основе композиции распределений случайных и неисключенных систематических погрешностей, приведенных в следующей таблице.

Табл. 4

Значение (Р)/	Погрешность результата измерения (Р)
(Р)/ < 0,8	(Р)
0,8  (Р)/  8	kp[(Р)+(P)]
(Р)/ > 8	(P)]

Коэффициент для доверительной вероятности P = 0,95 k_p определяется по табл

Табл. 5

(Р)/	0,5	0,75	1	2	3	4	5	6	7	8
k0,95	0,81	0,77	0,74	0,71	0,73	0,76	0,78	0,79	0,80	0,81

Результат косвенного измерения записывается в виде х  (Р) при доверительной вероятности Р.