39. Определение алгебры логики. Области применения

булевой алгебры.

Алгебра логики — раздел математики, изучающий высказы­вания, рассматриваемые со стороны их логических значений (ис­тинности или ложности) и логических операций над ними.

Высказывание — некоторое предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Аппарат алгебры логики (булевой алгебры) создан в 1854 г. Дж. Булем как попытка изучения логики мышления математиче­скими методами. Впервые практическое применение булевой ал­гебры было сделано К. Шенноном в 1938 г. для анализа и разработ­ки релейных переключательных сетей, результатом чего явилась разработка метода представления любой сети, состоящей из сово­купности переключателей и реле, математическими выражениями и принципов их преобразования на основе правил булевой алгеб­ры. Ввиду наличия аналогий между релейными и современны­ми электронными схемами аппарат булевой алгебры нашел широ­кое применение для их структурно-функционального описания, анализа и проектирования. Использование булевой алгебры позво­ляет не только более удобно оперировать с булевыми выражения­ми (описывающими те или иные электронные узлы), чем со схема­ми или логическими диаграммами, но и на формальном уровне путем эквивалентных преобразований и базовых теорем упрощать их, давая возможность создавать экономически и технически более совершенные электронные устройства любого назначения. Опе­рации булевой алгебры часто встречаются и в программном обес­печении вычислительных устройств, где они используются для за­мены аппаратной логики на программную.

Аппарат булевой алгебры, как и любая другая формальная ма­тематическая система, состоит из трех множеств: элементов, опе­раций над ними и аксиом.

39. Элементы булевой алгебры. Базовые операции

булевой алгебры.

Элементы. Схемы вычислительных устройств можно условно разделить на три группы: исполнительные, информационные и уп­равляющие. Первые производят обработку информации, представ­ленной в бинарной форме; вторые служат для передачи бинарной формы информации; третьи выполняют управляющие функции, генерируя соответствующие сигналы. Во всех случаях в тех или иных точках логических схем сигналы двух различных уровней могут представляться бинарными символами {0,1} или логически­ми значениями {Истина (True), Ложь (False)}. Поэтому множество элементов булевой алгебры выбирается бинарным В = {0,1}, а сама алгебра называется бинарной, или переключательной. Ее элемен­ты называются константами, или логическими 0 и 1, которым в ряде случаев соответствуют бинарные цифры, в других случаях — логи­ческие значения, соответственно ложь (False) и истина (True). В дальнейшем для обозначения булевых переменных будем исполь­зовать буквы латинского алфавита — х, у, z... Набор переменных х, у, z... может рассматриваться как n-разрядный двоичный код, раз­рядами которого являются эти переменные.

Операции. Основными, или базовыми, операциями булевой ал­гебры служат (табл.): И (AND), ИЛИ (OR) и НЕ (NOT). Опе­рация И называется логическим умножением, или конъюнкцией, и обозначается знаком умножения {•,˄}. Операция ИЛИ называется логическим сложением, или дизъюнкцией, и обозначается знаком сложения {+,˅}. Операция НЕ называется логическим отрицани­ем, или инверсией (дополнением), и обозначается знаком { —, ¬}.