Условный экстремум

Пусть функция

определена в некоторой области и ее аргументы не являются независимыми переменными, а связаны соотношениями:

Условия (26) называются уравнениями связи.

Пусть координаты точки удовлетворяют уравнениям связи (26).

Точка называется точкой условного максимума (минимума) функции (25) при условиях связи (26), если существует такая окрестность точки , что для любой точки , координаты которой удовлетворяют уравнениям связи (26), выполняется неравенство   .

Методы нахождения условного экстремума Метод исключения переменных

Ограничимся для простоты случаем ,   , т.е. нахождением условного экстремума функции 2–х переменных.

Пусть функция определена в некоторой области и ее аргументы связаны условием

Допустим, что уравнение (27) определяет неявно функцию . Тогда можно рассматривать сложную функцию . Если эта функция имеет экстремум в точке и y(x₀) = y₀ , то точка является точкой условного экстремума функции , аргументы которой удовлетворяют уравнению связи (27).

Если уравнение связи (27) можно разрешить относительно и перейти от неявного задания функции к явному, то отыскание условных экстремумов в рассматриваемом случае сводится к отысканию обычных (безусловных) экстремумов функции .

Метод неопределенных множителей Лагранжа

Пусть функции и  дифференцируемы в некоторой области . Тогда задача отыскания точек условного экстремума функции при условиях связи

эквивалентна задаче о нахождении точек обычного (безусловного) экстремума функции Лагранжа:

(28)

Схема метода Лагранжа:

1. Составляем функцию Лагранжа (28).

2. Для отыскания стационарных точек функции Лагранжа находим ее частные производные по всем аргументам

и приравниваем их к нулю.

Получаем систему уравнений с неизвестными:

(29)

Если — решение этой системы, то оно определяет стационарную точку функции при условиях связи (26), в которой функция может иметь условный экстремум.

3. Чтобы установить наличие или отсутствие условного экстремума в каждой стационарной точке , нужно исследовать знак 2–го дифференциала функции Лагранжа

при значениях дифференциалов , не равных одновременно нулю и удовлетворяющих продифференцированным уравнениям связи

Замечание. При решении практических задач во многих случаях наличие условного экстремума в стационарной точке определяется существом задачи.

Пример:

Найдем условный экстремум функции при условии . Составим функцию Лагранжа

.

Система (29) при этом выглядит так:

,

откуда . При этом можно представить в виде

,

поэтому в найденной стационарной точке имеет максимум, а – условный максимум.

Геометрический смысл условного экстремума функции:

Условными экстремумами функции при являются ее экстремумы на линии, образующейся в сечении поверхности цилиндрической поверхностью .