Формула Тейлора

Пусть функция раз дифференцируема в некоторой окрестности точки .

Формула Тейлора –го порядка для функции имеет вид

где — некоторая функция и , называемая остаточным членом.

Известно, что

( форма Пеано остаточного члена формулы Тейлора) и

( форма Лагранжа остаточного члена формулы Тейлора).

Формула Тейлора в виде (24) легко распространяется на функции с любым числом аргументов.

Экстремумы функций нескольких переменных Точки максимума и минимума

Пусть функция нескольких переменных    определена в некоторой окрестности точки   .

Точка называется точкой локального максимума (локального минимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех точек   выполняется неравенство   .

Значение функции в этой точке называется локальным максимумом (или локальным минимумом) функции и обозначается (или ).

Если при имеет место неравенство , то точка называется точкой строгого локального максимума (минимума).

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума, а максимумы и минимумы — экстремумами функции.

Необходимое условие экстремума

( Необходимое условие экстремума) Теорема: Если функция нескольких переменных имеет экстремум в некоторой точке, то в этой точке каждая ее частная производная равна нулю или не существует.

Внутренние точки из области определения функции, в которых выполняются необходимые условия экстремума, называются критическими. Если в критической точке функция дифференцируема, то такая точка называется стационарной.

В стационарной точке   функции существуют частные производные   и  

Достаточные условия экстремума

Пусть функция    имеет непрерывные частные производные до 2–го порядка включительно в некоторой окрестности ее стационарной точки   .

Пусть   — некоторая точка из этой окрестности. Тогда

— приращение функции, которое она получает при смещении из точки в точку .

По формуле Тейлора имеем

где — расстояние между точками и .

Так как — стационарная точка функции , то .

Допустим, что для всех точек из некоторой окрестности достаточно малой, чтобы в ней выполнялось неравенство . Тогда знаки и одинаковы.

Если для всех точек из окрестности , то и . В этом случае функция имеет минимум в точке .

Если для всех точек из окрестности , то и . В этом случае функция имеет максимум в точке .

Таким образом, достаточным условием экстремума функции нескольких переменных в ее стационарной точке является знакоопределенность (положительная или отрицательная определенность) дифференциала 2–го порядка в этой точке.

Достаточные условия экстремума функции 2–х переменных

Теорема. Пусть функция определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в стационарной точке   (т.е.   ):

Тогда:

• если , то — точка экстремума, причем при — точка минимума, при — точка максимума;

• если ,  то не является точкой экстремума;

• если , то требуется дополнительное исследование.

Доказательство приведено на стр. 163 [1]

Пример:

Найти точки экстремума функции

.

Для поиска стационарных точек решим систему

.

Итак, стационарная точка . При этом . Тогда , следовательно, в стационарной точке достигается экстремум, а именно минимум (так как ).