Производные и дифференциалы высших порядков
При изучении этой темы вы познакомитесь с понятиями и свойствами частных производных и дифференциалов высших порядков, научитесь их вычислять. Познакомитесь также с формулой Тейлора, важной для дальнейших приложений.
Частные производные высших порядков
Пусть
функция
в некоторой окрестности точки
имеет частные производные
или в других обозначениях
Частные
производные являются функциями
и
,
которые, в свою очередь, могут иметь
частные производные
Если
это так, то последние называются частными
производными 2–го порядка
функции
и обозначаются соответственно:
Аналогично определяются частные производные более высоких порядков.
Частные
производные, образованные дифференцированием
по различным аргументам, называются
смешанными
частными производными.
Например, смешанные производные 2–го
порядка функции двух переменных суть
и
Среди смешанных производных одного порядка выделяют производные:
-
отличающиеся количеством дифференцирований по одноименным аргументам (например,
и
;
-
отличающиеся лишь порядком дифференцирования по аргументам (например,
).
Теорема о равенстве смешанных частных производных:
Теорема: Если смешанные частные производные, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, непрерывны в некоторой точке, то их значения в этой точке равны.
Дифференциалы высших порядков
Пусть
функция
дифференцируема в точке
и ее аргументам
и
даны
приращения соответственно
и
. Тогда полный дифференциал первого–го
порядка функции
определяется формулой
Если
функция
дифференцируема в некоторой окрестности
точки
, то
является функцией
и
. Кроме того,
зависит также от
и
.
Пусть
и
— независимые переменные. Приращения
независимых переменных
и
не зависят от
и
и в этом смысле их можно считать
постоянными. Тогда
будет функцией только аргументов
и
.
Допустим, что эта функция дифференцируема
в точке
и ее аргументам даны приращения
,
(причем, совпадающие с теми, которые
вызвали приращение функции
с дифференциалом
). Эти приращения вызовут приращение
, главная линейная часть которого
является полным дифференциалом
. Этот полный дифференциал называется
дифференциалом
2–го порядка
функции
в точке
и обозначается символом
.
Покажем,
что дифференциал 2–го порядка выражается
через частные производные 2–го порядка,
вычисленные в точке
и является квадратичной
функцией (формой)
приращений
и
.
Применяя к (21) правила дифференцирования и учитывая постоянство dx и dy , получаем:
Если
смешанные частные производные
непрерывны
в точке
и, следовательно, равны, то
приводится к виду
т.е.
является квадратичной формой функции
и
.
Операторная форма дифференциалов высших порядков
Если
и
рассматривать как обозначения
дифференциальных операторов, результатами
действия которых на функцию
являются частные производные 
и
,
то
Теперь формулу (22) можно записать в операторной форме
Если
является дифференцируемой функцией
независимых переменных
и
в окрестности точки
, то аналогично вышеизложенному вводится
понятие дифференциала
3–го порядка:
при постоянных
и
.
Дифференциал
–го порядка
определяется как дифференциал от
дифференциала
–го порядка:
при постоянных
и
а его связь с частными производными
–го порядка выражается формулой
Замечание.
Если
и
не независимые переменные, функции, то
формула (20) при
в общем случае неверна и, следовательно,
дифференциалы порядков
функции
не обладают свойством инвариантности
формы.
Рассмотренные определения дифференциалов высших порядков и их свойства распространяются и на функции с большим, чем два, количеством аргументов.