Дифференцирование сложной функции

Теорема 1. Пусть функция дифференцируема в точке , а ее аргументы и дифференцируемы в точке , причем

Тогда сложная функция переменной дифференцируема в точке и ее производная вычисляется по формуле

Доказательство. Так как функции и дифференцируемы в точке , то их приращения и , соответствующее приращению аргумента , представимы в виде:

где и — бесконечно малые функции при .

Так как функция дифференцируема в точке , где , то ее приращение , соответствующее приращениям аргументов и , представимо в виде

где и — бесконечно малые функции при .

Из дифференцируемости функций в точке следует их непрерывность в этой точке, т.е. при . Поэтому и при .

Подставляя выражения (9) в формулу (10), получаем

Здесь бесконечно малая функция при , имеющая вид:

и ранее показаны

Обозначив в (11) выражение в скобках буквой ( не зависит от ), получаем

т.е. приращение представлено как сумма линейной части приращения и бесконечно малой более высокого порядка, чем . Отсюда следуют дифференцируемость сложной функции в точке и формула (8) для в этой точке. Теорема доказана.

Аналогично формулируются и доказываются теоремы о дифференцируемости сложной функции любого числа переменных. Например:

Теорема 2. Пусть функция дифференцируема в точке и ее аргументы и дифференцируемы в точке , причем .

Тогда сложная функция переменных и дифференцируема в точке и ее частные производные вычисляются по формулам

(Все производные в этих формулах вычисляются выполнены в соответствующих точках.)

Пример:

Найти частные производные функции ,

где тогда в соответствии с (12 и 13) получим:

Инвариантность формы полного дифференциала

Пусть функция , где и — независимые переменные, дифференцируема в некоторой точке . Известно, что ее дифференциал в этой точке определяется формулой

где и — приращения независимых переменных и .

Пусть теперь и — не независимые переменные, а функции и , дифференцируемые в точке . Тогда по теореме 2 сложная функция переменных и дифференцируема в точке . Следовательно, ее дифференциал определяется формулой

Подставляя сюда и , определяемые формулами (12) и (13), и выполняя простые преобразования, получаем

Таким образом, дифференциал функции , когда и являются функциями, совпадает по форме с дифференциалом функции , когда и — независимые переменные. Это свойство называют инвариантностью² формы первого дифференциала.

Следует иметь в виду, что в случае независимых переменных и их дифференциалы и совпадают с приращениями и . В случае, когда и сами являются функциями, их дифференциалы, вообще говоря, не совпадают с приращениями и , а являются лишь их линейными частями.

Свойство инвариантности формы полного дифференциала распространяется на функции любого числа переменных.

Нормаль и касательная плоскость к поверхности

Пусть дана некоторая поверхность, A — фиксированная точка поверхности и B — переменная точка поверхности, — фиксированный вектор.

Обозначим  = (M) — угол между векторами и (рис. 11).

Рис.11

Ненулевой вектор

называется нормальным вектором к поверхности в точке A, если

Точка поверхности называется обыкновенной, если в этой точке выполняются два условия:

1. частные производные непрерывны;

2. .

При нарушении хотя бы одного из этих условий точка поверхности называется особой точкой поверхности.

Теорема 1. Если — обыкновенная точка поверхности , то вектор

является нормальным к этой поверхности в точке .

Нормалью к поверхности в некоторой ее точке называется прямая, направляющий вектор которой является нормальным к поверхности в этой точке.

Канонические уравнения нормали можно представить в виде

Касательной плоскостью к поверхности в некоторой точке называется плоскость, которая проходит через эту точку перпендикулярно нормали к поверхности в этой точке.

Из этого определения следует, что уравнение касательной плоскости имеет вид:

Если точка поверхности является особой, то в этой точке нормальный к поверхности вектор может не существовать, и, следовательно, поверхность может не иметь нормали и касательной плоскости.