Производная по направлению

Пусть заданы функция , определенная в некоторой окрестности точки , и — единичный вектор .

Через точку проведем прямую в направлении вектора и обозначим приращение функции, которое она получает при смещении из точки в некоторую точку на этой прямой. Обозначим – приращение функции в направлении (рис.9).

x

a

Рис.9

Производной функции в точке по направлению называется предел отношения к при

Обозначение

Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в данной точке в данном направлении.

Составим формулу для производной по направлению. Для этого используем параметрические уравнения прямой:

где , и — единичный направляющий вектор прямой. Переменная .

Проекция функции на данную прямую есть функция одной переменной :

причем ). Тогда из определения (3) следует, что

Для трехмерного пространства когда получим,

где — углы, образованные вектором

с осями координат. Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид

Находим в точке a по формуле (4). Для этого дифференцируем функцию вида

как сложную функцию от при . Получим

Производная n-мерной функции в точке в направлении единичного вектора вычисляется аналогично. Получим

Таким образом геометрический смысл производной по направлению функции двух переменных следующий :

В

Z=U(x,y)

N

A

M

Рис.10

На рис. 10 изображена поверхность , точка и вектор

Проведем числовую ось через точку параллельно вектору . Начало отсчета на этой оси выберем в точке . Положение любой точки на оси определяется числом . Проведем плоскость через ось параллельно оси . Плоскость пересекает график функции по кривой (АВ), изображенной на рис. 10. Эта кривая является графиком функции

Касательная (MN) к графику функции в точке образует с положительным направлением оси некоторый угол . Получим

Градиент

Пусть функция в точке частные производные по всем переменным.

Тогда вектор

,

или

называется градиентом (вектором–градиентом) функции в точке .

Вектор–градиент (5) обозначается символом или . Символ читается как «намбл». Называется оператор намбла

Для случая трех переменных получим соответственно:

Свойства градиента:

Пусть и функции дифференцируемы в некоторой точке . Тогда в этой точке градиент имеет свойства:

 

где , - постоянная величина, и – функции n переменных. 

Связь градиента с производной по направлению

Производная функции в направлении единичного вектора вычисляется по формуле

Используя определение градиента и формулу для скалярного произведения (в ортонормированном базисе), получим:

Свойство инвариантности градиента

Так как , из формулы (6) следует, что

где — угол между векторами и в данной точке.

Из формулы (7) следует, что наибольшая скорость изменения функции достигается в направлении ее градиента и равна норме (модулю) градиента - . Это доказывает, что вектор не зависит от выбора системы координат (инвариантность).

Сложные функции нескольких переменных

Понятие сложной функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Пусть ее аргументы и в свою очередь являются функциями , и определены в некоторой окрестности точки , причем .

Тогда в окрестности точки определена сложная функция аргумента

Подобным образом определяются сложные функции любого числа переменных.

Например, если и — функции 2–х переменных: и , то функция является сложной функцией двух переменных и :