Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Функция нескольких переменных_5.docx

Скачиваний:

Добавлен:

18.12.2018

Размер:

368.99 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Дифференцирование функций нескольких переменных Частные производные

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Тогда

— частное приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента .

Определение 1. Если существует предел

то он называется частной производной функции по аргументу в точке .

Эта частная производная обозначается любым из символов:

Так как в определении частной производной по значения всех аргументов, кроме , не изменяются, эта частная производная по , вычисляется по тем же правилам, что и производная функции одной переменной .

Односторонние частные производные определяются также как односторонняя производная функции одной переменной.

Геометрический смысл частных производных:

Рассмотрим функцию двух переменных , определенную в некоторой окрестности точки . Пусть она имеет в этой точке частную производную

Согласно геометрическому смыслу производной функции одной переменной является углом между осью OX и касательной к графику этой функции, т.е. к кривой, определяемой системой уравнений

в точке , где . Рис. 8.

Рис.8

Примеры:

Найти частные производные от функций:

;

Решение: Считая функцию ( только одного аргумента: находим соответствующие частные производные.

Условия дифференцируемости

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение

можно представить в виде

где — некоторые числа, не зависящие от — функции , бесконечно малые при и равные нулю при .

— расстояние между точками и . Тогда определение (1) можно записать в форме:

где при и .

Выражение

— линейная часть приращения относительно , — бесконечно малая более высокого порядка малости, чем .

Определение 2. Если функция дифференцируема в точке , то линейная часть ее приращения относительно называется дифференциалом (или полным дифференциалом) функции в точке .

Таким образом

Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Необходимое условие дифференцируемости:

Теорема 2. Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке существуют частные производные по каждому аргументу , причем

где — числа в определении (1).

Из этой теоремы следует, что приращение дифференцируемой функции можно записать в виде

и ее дифференциал

Пример:

Вычислить приближенные значения:

1,08^3,96;

Решение:

Если требуется вычислить значение функции в точке и если проще вычислить значения этой функции и ее частных производных в точке , то при достаточно малых, по абсолютной величине, значениях разностей можно заменить полное приращение функции ее полным дифференциалом:

Это позволяет найти приближенное значение искомой величины по формуле

Полагая, что 1,08^3,96 есть частное значение функции

В точке М(1,08; 3,96) и что вспомогательная точка будет М₀(1;4), вычислим:

Подставляя в формулу, найдем искомое значение:

Пусть

есть частное значение функции трех переменных

в точке и пусть вспомогательная точка будет Тогда:

Подставляя получим:

Достаточное условие дифференцируемости:

Теорема 3. Если функция имеет в окрестности точки частные производные, непрерывные в этой точке, то дифференцируема в точке .

Пример: Потенциальная энергия материальной точки массой m = 2 кг изменяется по закону где - постоянные величины; - ускорение свободного падения. Получить выражение для силы, действующей на материальную точку по вертикали, вычислить ее величину.