Предел функции нескольких переменных

Пусть функция переменных определена в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки .

Определение 1. Число называется пределом функции в точке , если

ε > 0)   δ_ε > 0) x  O_δ()  |f(x) − A| < ε

Обозначение:

В пространстве предел функции в точке принято обозначать следующим образом:

Замечания.

1. Определение предела функции переменных совпадает с определением предела функции одной переменной, только окрестность точки теперь не интервал , а мерный открытый шар

(x₁ − ₁)² + (x₂ − ₂)² + … + (x_n − _n)² < δ².

2. Если — граничная точка области определения функции то определение предела уточняется следующим образом (аналогично понятию одностороннего предела функции одной переменной):

ε >0)    δ_ε > 0)   (x  O_δ()) ∩ D(u)  |f(x) − A|<ε.

Теорема 1. Пусть функции переменных и , определены в области и для некоторой точки

и

Тогда

Теорема доказывается аналогично, как для функции одной переменной.

Определение 2. Функция называется бесконечно малой в точке , если

Определения и теоремы о бесконечно малых функций одной переменной справедливы для бесконечно малых функций нескольких переменных.

Пример: Найти пределы функций:

Решение: Убедившись, что функции не определены в предельной точке, сделав преобразования, находим:

так как

предел не существует потому, что отношение не имеет предела при произвольном стремлении точки к точке . Так, приближаясь к – началу координат по оси , где , получим Если же приближаться к началу координат по оси , где , то . Таким образом при приближении к по разным направлениям функция имеет разные придельные значения и, следовательно, не имеет придела при

4. Покажем, что функция

не имеет предела при . Действительно, если в качестве линии, по которой точка приближается к началу координат, выбрать прямую , то на этой прямой

.

Если же траекторией движения считать прямую , то

.

Следовательно, предел в точке не существует.

5. Найдем повторные пределы функции

при

,

.

Если же произвести предельные переходы в обратном порядке, получим:

Таким образом, повторные пределы оказались различными (откуда следует, конечно, что функция не имеет в точке предела в обычном смысле).

Непрерывность функции нескольких переменных

Пусть функция переменных определена в некоторой окрестности точки (включая саму точку ).

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в точке

Обозначим приращения аргументов символами

Соответствующее приращение функции

называется полным приращением функции в точке , соответствующая приращению

Условие, определяющее непрерывную функцию в точке аналогично условию – функция определена в точке и

т.е. бесконечно малым приращениям аргументов, соответствует бесконечно малые приращения функции

Приращение функции вида

называется частным приращением функции в точке , соответствующая приращению аргумента .

Определение 2. Функция называется непрерывной по переменной в точке , если она определена в точке и

Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области;

Теорема 1. Если функция непрерывна в точке , то она непрерывна в этой точке по каждой переменной .

Обратное утверждение неверно.

Теорема 2. Пусть функции и , определены в области и непрерывны в точке .

Тогда функции , · и (при непрерывны в точке

Доказательство вытекает из определения непрерывности функции в точке и теоремы о пределах суммы, произведения и частного двух функций.

Теорема 3. Всякая элементарная функция нескольких переменных непрерывна в области её определения.

Теоремы о свойствах функции одной переменной, непрерывной на отрезке, справедливы для функции нескольких переменных, непрерывной на замкнутом ограниченном множестве:

Теорема 4. Функция, непрерывная на замкнутой ограниченной области, ограничена на этой области.

Теорема 5 (Вейерштрасс). Функция, непрерывная в замкнутой ограниченной области, имеет наибольшее и наименьшее значение.