Наибольшие и наименьшие значения

Пусть функция    определена в замкнутой области , ограниченной линией , которая задана уравнением   .

Наибольшее значение функция может принимать в точках максимума (внутри области ) и на границе в точках условного максимума функции    при   ,  а наименьшее значение — соответственно в точках минимума (внутри области ) и на границе в точках условного минимума. Если вычислить значения функции    во всех этих точках, то и обязательно окажутся среди вычисленных величин.

Алгоритм отыскания наибольшего значения и наименьшего значения m

1. Находим все точки экстремума функции   f(x, y)  внутри области .

2. Находим все точки условного экстремумы функции   f(x, y) при условии   .

3. Вычисляем значения функции во всех найденных точках и выбираем среди них наибольшее и наименьшее. Это и будут и .

Примеры:

1. Найти наибольшее значение функции

в треугольнике со сторонами .

Стационарные точки определяются из решения системы

,

Применив получим

.

Единственной внутренней точкой данного треугольника, являющейся решением полученной системы, будет , в которой . Это значение оказывается наибольшим и на всем рассматриваемом множестве, так как на его границе .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

в области

Решим систему уравнений

,

откуда – точка, не лежащая в заданном круге. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения данная функция принимает на границе области, то есть на окружности . Составим функцию Лагранжа

Ее стационарные точки найдем из системы

.

Получим

,

откуда . Следовательно, стационарными точками являются и . В первой из них , во второй . Эти числа являются наименьшим и наибольшим значениями в заданной области.

Список литературы

1. И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения". М.: Изд–во МЭИ, 2002 (стр. 126).

2. А.К. Боярчук, Г.П. Головач «Справочное пособие по высшей математике». Т.5: Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. – М. Эдиториал УРСС, 2001. – 384 с.

3. Б.М. Владимирский, А.Б. Горско, Я.М. Ерусалимский Математика. Общий курс: Учебник. 4-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань». 2008. – 960 с.: ил.

Составители

Владимир Петрович кузнецов

Любовь Емельяновна Мякишева

Юрий Александрович Фадеев

Функции нескольких переменных Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

Отпечатано в Междуреченском филиале ГУ КузГТУ

г. Междуреченск, Кемеровской обл.

Подписано к печати 20.02.11г. Отпечатано на ризографе.

Формат 6084 1/16. Объем 1,9 п.л. Тираж 100 экз. Заказ 011

1 Б.М. Владимирский. Математика. С 334

2 ИНВАРИАНТНОСТЬ [invariance] — свойство какого-либо объекта не изменяться при изменении условий, в которых он существует.

47