Применение теоремы Гаусса

В электродинамике теорема Гаусса (закон Гаусса) также остается (полностью в том же виде) одним из главных уравнений — одним из четырех уравнений Максвелла.

В некоторых ситуациях теорема Гаусса может быть использована для прямого и легкого вычисления электростатического поля непосредственно. Это ситуации, когда симметрия задачи позволяет наложить на напряженность электрического поля такие дополнительные условия, что вместе с теоремой Гаусса этого хватает для прямого элементарного вычисления (без применения двух обычных общих способов — решения уравнения в частных производных или лобового интегрирования кулоновских полей для элементарных точечных зарядов).

Именно таким способом с использованием теоремы Гаусса может быть выведен и сам закон Кулона  Конкретные примеры такого применения теоремы Гаусса разобраны здесь ниже.

В них используются следующие величины и обозначения:

• Объёмная плотность заряда

где dV — (бесконечно малый) элемент объема,

• Поверхностная плотность заряда

где dS — (бесконечно малый) элемент поверхности.

• Линейная плотность заряда

4. Работа перемещения заряда. На положительный точечный заряд q в электрическом поле с напряжённостью E действует сила  F = q E. При перемещении заряда на отрезке dl силами поля совершается работа

dA = F dl = q E dl cos (E, dl).

При перемещении заряда q силами электрического поля на произвольном конечном отрезке из точки 1 в точку 2 эта работа равна

 .Рассмотрим перемещение точечного заряда q в поле точечного заряда Q, напряженность поля которого 

 .Проекция отрезка dl на направление вектора E (рис. 1.5) есть dr = dl cos (E, dl).

Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2, определяется следующим образом:

Отсюда следует, что работа сил электрического поля не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положениями заряда q. Если оба заряда, q и Q, положительны, то работа сил поля положительна при удалении зарядов и отрицательна при их взаимном сближении.

Для электрического поля, созданного системой зарядов Q₁, Q₂,¼, Q_n, работа перемещения заряда q равна алгебраической сумме работ составляющих сил:

Таким же образом, как и каждая из составляющих работ, суммарная работа зависит только от начального и конечного положений заряда q.

Потенциал электростатического поля. Поле консервативной силы может быть описано не только векторной функцией, но эквивалентное описание этого поля можно получить, определив в каждой его точке подходящую скалярную величину. Для электростатического поля такой величиной является потенциал электростатического поля, определяемый как отношение потенциальной энергии пробного заряда q к величине этого заряда, j = W_п / q, откуда следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд. Единицей измерения потенциала служит Вольт (1 В).

Потенциал поля точечного заряда Q в однородной изотропной среде с диэлектрической проницаемостью  :

 .