2.10. Градиентные методы поиска экстремума

В этих методах направление движения совпадает с вектором градиентом при поиске макс и противоположно ему при поиске мин.

Градиент функции в точке есть вектор, поправленный в сторону наискорейшего ее возрастания

grad J={ …}

Все градиентные методы различаются способом выбора длины шага , однако шаг всегда выполняется в направлении вектора grad

Что бы выдержать это поправление шаг по каждой координате должен быть пропорционален соотв. составляющей вектора grad

,i=

Для реализации этого алгоритма на каждой итерац. требуется оценивать сост. вектора grad. Это можно делать пробными воздействиями по каждой коорд.

Рассмотрим след метод оценки сост. градиент.

На входы подаются воздействия вида:

В конкретный момент времени в последнем выр. все слагаемые кроме одного равны 0.

Например на интервале

2.11. Экстремальное управление в условиях помех.

На практике имеют место случаи, когда выход объекта управления зашумлен.

Предполагается, что U(t) центрированный ССП с огранич. дисперсией и неизвестными характеристиками.

Задача экстримального упр в условиях измерения выхода с помехой сост. в след:

(1)

Для решения этой задачи может применятся рассмотренный ранее метод:

Этот метод обеспечит решение задачи (1), если величина и

удовл условиям:

(2)

Выполнение условия (2) сост суть метода стохастич аппроксимации.

На практике используются соотнош., обеспечивающее выполнение условий (2).

2.12. Идентификационные алгоритмы экстремального управления

Процесс поиска ускорится если структура мат модели объекта известна с точностью до параметров.

Пусть имеется одномерный объект с экстремальной характеристикой ,

– неизвестный параметр.

Структура функции – известна.

Если бы было известно значение , то задача (1)

сводилась бы к решению уравнения:

(2)

Таким образом любой идентификац. алгоритм сост из 3х этапов:

1 По результатам измерений пар определяются параметры

2 Решается задача (2)

3 Найденное оптимальное U выдается на объект.

Пример: рассмотрим процедуру вычисления экстремума ф-и вида кривой Гаусса по 3 замерам.

U*=М - оптимальное значение М.

Для определения U*=М разделим первое ур на второе , а второе на третье:

Прологарифмируем уравнение:

Из последнего уравнения выражаем параметр М

U*=

2.13. Динамические режимы работы систем экстремального регулирования. Показатели качества экстр систем

В определенных случаях инерцией ОУ пребречь нельзя, при этом уравн. описывающие обьект является не алгебраическим а дифференциальным. Инерциональные экстремальные объекты могут иметь 1 из след структур :

f(x)- безинерционное нелинейное звено с экстремальной характеристикой.

Инерционность на входе w1 обусловлена в основном инерционностью исполнительного механизма. А инерциональность выхода w2 определяется непосредственно динамикой обьекта и средств сбора инф.

Рассмотрим систему экстремального управления объектом типа НЛ.

В УУ реализуется процесс экстрем. поиска с запоминанием экстремума.

ИМ перемещ. с постоянной скоростью .

В прямом поправлении, когда R=+1 или в обратном R=-1

Управление ОУ имеет вид :

(1)

(2) k- скорость изменения исполнительного механизма.

Из уравнений (1,2) исключим dt, и получим ур-ния фазов. траекторий

(3)

Фазовая траектория М0-М1 не совпадает со статистической характеристикой f(u), и в соотв с уравнением (3) тем ниже, чем больше k и Т.

В точке М1=j

В системе управления произойдет реверс при выполнении условия:

если (4)

Рассмотрим временные диаграммы работы системы с запоминанием экстремума:

Через некоторое время после выхода системы в экстремум в ней наблюдаются колебания в районе экстремума.

Процесс движения системы опред путем решения СУ:

Обычно более наглядно процесс движения к экстремуму изображ. На фазовой плоскости

В. т. М2, М4, М6, М8 происходит реверс, т.е. переключение.

Уравнение фазовых траекторий получается путем решения ДУ:

если

После выхода системы к экстремуму устанавливается автоколебание.

М1,М2 – точки переключения

Показатели работы системы экстремального регулирования:

1. Время выхода системы в область экстремума - время движения системы от края рабочего диапазона до установ. автоколебаний .

2. Потери на поиск – разность между Jmax и средним значением критерия в уст режиме.

3. Амплитуда уст колебаний

Для определения оптимальных значений параметров управляющей части системы необходимо выполнить расчет переходных процессов в системе экстремального регулирования.

Наиболее общим методом расчета процессов в системе являются численные методы

Задав начальные условия на инерционных элементах () с использованием разностных уравнений рассчитывается процесс в системе для k=1,2…

По нему определяются показатели качества .