19. Ранг системы векторов - это количество линейно-независимых векторов в ней и равен ранUу матрицы, составленной из координат этих векторов (как найти ранг матрицы – вопрос 6).

Базис векторного пространства – линейно независимая система векторов такая, что любой вектор пространства представляется в виде их линейной комбинации (короче говоря – это несколько векторов, которые не выражаются друг через друга, а остальные векторы можно выразить через эти).

20. Вектором, как на плоскости, так и в пространстве, называется направленный отрезок, то есть такой отрезок, один из концов которого выделен и называется началом, а другой — концом.

Определения: Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Длиной (модулем) ненулевого вектора называется длина отрезка AB.

Если два ненулевых вектора коллинеарны, а их лучи сонаправлены, то векторы называются сонаправленными. () Если лучи не сонаправлены, то противонаправленными ().

Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

От любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Два вектора называются противоположными, если их длины равны, и они противоположно направлены.

Действия: сумма 2-х векторов - по треугольнику или по параллелограмму.

(переместительный закон)

(сочетательный закон)

Разность векторов:

(первый распределительный закон)

(второй распределительный закон)

Для коллинеарности одного вектора к другому достаточно чтобы существовало такое число λ, что

Для того, чтобы точка C лежала на прямой AB, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число λ, что .

Для параллельности прямых AM и BN необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число λ, что

21. Базисом на плоскости и пространстве называется максимальная линейно независимая на плоскости или в пространстве система векторов (добавление к системе еще одного вектора делает ее линейно зависимой). (что такое базис – вопрос 19).

Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно перпендикулярны и равны единице. Базисные векторы ортонормированного базиса обозначаются i, j, k. Радиус-вектор точки это вектор, идущий из начала координат в эту точку.

22. Если хотя бы один из векторов — нулевой, то остальные вектора тоже считаются компланарными.

Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.

Смешанное произведение компланарных векторов равно 0.

Компланарные векторы — линейно зависимы

Необходимым и достаточным условием коллинеарности ненулевого вектора и вектора является существование такого числа Х, которое удовлетворяет равенству .

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.