Транспортная задача

В транспортной задаче, которая является разновидностью задачи линейного программирования и решается соответствующими методами, требуется найти оптимальный план перевозок некоторого продукта от заданного множества производителей, занумерованных числами 1,2,…,M к множеству потребителей, занумерованных числами 1,2,…,N.

Производственные возможности i-го производителя заданы объемом производимого продукта - . Спрос j-го потребителя на этот продукт задается числом .

Обозначим планируемый объем перевозок от i-го производителя к j-ому потребителю как . В этих условиях должны быть выполнены очевидные балансовые соотношения:

(1)

Для существования допустимого плана перевозок должен выполняется общий баланс между спросом и потреблением:

.

При этом транспортную задачу называют сбалансированной.

Можно убедиться, например, что в сбалансированной транспортной задаче величины

(2)

представляют в совокупности допустимый вариант перевозок, т.к. удовлетворяют ограничениям (1).

Целью решения транспортной задачи является минимизация суммарных транспортных расходов.

Если предположить, что стоимость перевозки продукта линейно зависит от объема перевозки и характеризуется числами , где - стоимость перевозки единицы продукта от i-го производителя к j-му потребителю, а - объемы перевозок, то целевая функция в транспортной задаче принимает вид:

(3)

и задача заключается в минимизации (3), т.е.

, (4)

при выполнении ограничений (1) и условии неотрицательности всех переменных .

Переменные можно представить в виде матрицы (таблица 1):

Таблица 1. Матрица объемов перевозок.
Потребители Поставщики	1	2	...	N
1			...
2			...
...	...	...	...	...
M			...

или, более традиционную, в виде вектора ,развернув в этот вектор вышеприведенную таблицу 1. При естественном обходе таблицы 1 (допустим по столбцам) матрица ограничений (1) примет специфический вид, приведенный в таблице 2.

Таблица 2. Матрица ограничений транспортной задачи.
1	1	...	1
				1	1	...	1
								...
									1	1	...	1
1				1				...	1
	1				1			...		1
								...
			1				1	...				1

Видно, что матрица ограничений транспортной задачи обладает рядом характерных особенностей, из которых отметим следующие:

• большая часть ее элементов равна нулю;

• среди ненулевых элементов много одинаковых.

Первое свойство матрицы называют разреженностью, а последнее свойство называют сверхразреженностью.

Для характеризации разреженности используют две меры - количество ненулевых элементов в матрице ограничений и их отношение к общему числу элементов матрицы. Последняя характеристика называется плотностью. Для транспортной задачи плотность d равна и падает с ростом размерности задачи, что вообще типично для задач линейного программирования.

Описанный вариант транспортной задачи называется транспортной задачей в матричной постановке. В такой задаче разрешаются связи между произвольными поставщиками и потребителями.

На практике зачастую некоторые связи между определенными поставщиками и потребителями невозможны или нежелательны из-за разного рода внемодельных соображений (отсутствие дорог, специфика погрузочно-разгрузочного оборудования и тому подобное).

Чтобы отобразить подобного рода ситуации, транспортную задачу формулируют в сетевом виде, задавая и фиксируя структуру связей «поставщик»  «потребитель». Связи можно задать списком, приведенным в таблице 3, используя вместо имен потребителей и поставщиков их уникальные индексы из некоторого реестра.

Таблица 3. Список транспортных связей
п/п	Поставщик	Потребитель	Стоимость перевозки
1	Владивосток	Москва	134
2	Хабаровск	Владивосток	27
...	...	...	...
127	Якутск	Магадан	98

С i-ой связью можно ассоциировать соответствующую переменную , которая имеет смысл объема перевозок по этому направлению.

Если множество связей, ведущих к потребителю i, обозначить через , а множество связей, ведущих к поставщику j, обозначить через , то балансовые уравнения запишутся в виде:

Наглядно транспортную задачу в сетевой постановке лучше всего представить в виде графа - некоторого множества вершин, соединенных дугами, обозначающими транспортные связи.

Задача

В трех хранилищах горючего ежедневно хранятся 20, 10 и 15 тонн горючего. Это горючее каждый день перевозят на четыре топливозаправочные станции в количествах, равных соответственно 10, 15, 10 и 10 тонн. Стоимости перевозок 1 тонны горючего из хранилищ к заправочным станциям задаются в виде стоимостной матрицы (в у.е.):

	Заправочная станция
Хранилище	1	2	3	4
1	9	7	5	3
2	1	2	4	6
3	8	10	12	1

Необходимо составить такой план перевозок горючего, при котором общая стоимость перевозок была бы минимальной.