1. Задачи и упражнения

Определите количество всех функций алгебры логики от одной переменной; от двух, трех, четырех, пяти переменных.

Изобразите графически следующие функции: а) f(x,y) = (1,1,0,0); б) f(x,y) = (1,0,1,0); в) f(x,y,z) = (0,1,0,1,1,1,0,0).

Укажите название следующих функций: а) f(x,y) = (0,1,1,0); б) f(x,y) = (1,0,0,1); в) f(x,y) = (1,0,0,0); г) f(x,y) = (1,1,1,0)

Удалите несущественную переменную и назовите полученную элементарную функцию: а) f(x,y,z) = (0,1,0,1,0,1,0,1); б) f(x,y,z) = (1,1,0,0,1,1,0,0); в) f(x,y,z) = (0,1,0,1,1,1,1,1); г) f(x,y,z) = (0,0,0,1,0,0,0,1); д) f(x,y,z) = (1,1,1,1,0,1,0,1); е) f(x,y,z) = (0,0,1,1,1,1,0,0).

Путем ввода несущественной переменной z получите эквивалентную функцию f(x,y,z) для следующих ФАЛ: а) f(x,y) = (0,0,1,0); б) f(x,y) = (1,0,1,1); в) f(x,y) = (0,1,0,0). Затем переименуйте переменные x и y в y и z соответственно, и выполните ввод несущественной переменной х для тех же функций. Выполните также переименование у в z и введите несущественную переменную у.

Постройте полную и сокращенную таблицы истинности для следующих формул: а) ; б) ; в) ; г) .

Определите с помощью таблиц истинности, являются ли следующие логические формулы тавтологией, противоречием или ни тем, и ни другим.

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ; к) ; л) ; м) .

Докажите, что если (x & y) – тавтология, то тавтологиями являются x и y, и что если x – тавтология, то и – тоже тавтологии.

Определите с помощью таблиц истинности, какая элементарная функция реализуется следующей формулой: а) ; б) ; в) ; г)

Докажите с помощью таблиц истинности, что следующие пары формул эквивалентны:

а) и ; б) и ; в) и ; г) и ; д) и ; е) и ; ж) и ; з) и ;

Исключите возможно большее число скобок в формулах: а) ; б) ; в) ; г) .

Восстановите скобки в формулах в соответствии с приоритетом логических операций: а) ; б) ; в) .

Используя свойства элементарных функций, упростите формулы: а) ; б) ; в) ; г) ; д) . е) ; ж) ; з) ; и)

Докажите или опровергните тождественную истинность следующих формул путем эквивалентных преобразований: а) ; б) ((x ≡ y) ˙·(x | y)) ≡ x & y; в) (x → y) ≡ ; г) (x → z) ≡ (( x  (y & z)) →((x  y) & z))

Проверьте с помощью эквивалентных преобразований, будут ли эквивалентны следующие формулы: а) x → (y ↓ z) и (x → y ) ↓ (x → z); б) x → (y ≡ z) и (x → y ) ≡ (x → z); в) ; г) .

Электрическая цепь, содержащая только двухпозиционные переключатели, изображена с помощью диаграммы на рис. 9, где возле каждого переключателя пишется буква, истинностное значение которой соответствует прохождению тока через этот переключатель. Условие прохождения тока через контур можно выразить логической формулой . Две цепи назовем эквивалентными, если через одну из них ток идет тогда и только тогда, когда он идет через другую; из двух цепей та считается более простой, которая содержит меньшее число переключателей. а) Нарисуйте электрическую цепь, представленную формулой , затем упростите формулу и нарисуйте соответствующую упрощенную цепь; б) для цепи, изображенной на рис. 10, постройте эквивалентную, более простую цепь и запишите соответствующ ую логическую формулу. в) для цепей, изображенных на рис. 11 и 12, постройте эквивалентные им, более простые цепи.

Найдите функцию, двойственную заданной: а) f(x,y,z) = (1,1,1,1,0,0,1,1); б) f(x,y,z) = (1,0,0,0,1,0,0,0); в) f(x,y,z) = (0,1,0,1,1,0,1,0); г) f(x,y,z) = (1,1,1,0,1,0,0,0).

Используя принцип двойственности, запишите формулы, двойственные заданным, затем расставьте в полученных формулах скобки, указывающие порядок выполнения действий, и упростите полученные формулы путем эквивалентных преобразований: а) ; б) ; в) ; г) .

Пусть U – формула, содержащая только связки (  , ,  ) , а U^* – двойственная ей формула. Докажите: а) U – тавтология тогда и только тогда, когда – тавтология; б) если – тавтология, то тоже тавтология; в) формула логически эквивалентна формуле ; г) если U ≡ W – тавтология, то тавтологией является и U^* ≡ W^*.

С помощью принципа двойственности выведите новые тождества: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .

Используя свойство из задачи 19(в), запишите формулу, эквивалентную заданной: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

С каждой из приведенных ниже формул выполните следующие действия: – упростите исходную формулу; – запишите двойственную и упростите её; – запишите эквивалентную формулу и упростите её: а) ; б) ; в) .

Для заданной функции запишите СДНФ и СКНФ. а) f(x, y, z) = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1) б) f(x, y, z) = (0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0); в) f(x, y, z) = (1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0); г) f(x, y, z) = (0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1).

Пусть каждый из трех членов комитета голосует «за», нажимая на кнопку. Постройте по возможности более простую электрическую цепь, через которую ток проходил бы тогда и только тогда, когда не менее двух членов комитета голосуют «за». Указание: составьте таблицу истинности для соответствующей функции, запишите её в виде СДНФ, упростите полученную формулу и изобразите эквивалентную последней формуле электрическую цепь с двухпозиционными переключателями.

Требуется, чтобы включение света в комнате осуществлялось с помощью трёх переключателей таким образом, чтобы нажатие на любой из них приводило к включению света, если перед этим он был выключен, и к его выключению, если перед этим он был включен. Постройте наиболее простую электрическую цепь, удовлетворяющую такому заданию.

Механизм приводится в движение тремя рычагами и действует лишь тогда, когда ровно два из них находятся в одинаковом состоянии. Запишите зависимость состояния механизма от состояний рычагов в виде логической формулы и упростите её.

«Сложение n – разрядных двоичных чисел». Даны два n – разрядных двоичных числа x = (x_n x_n-1 ... x₁) и y = (y_n y_n-1 ... y₁), где x_i, y_i равны 0 или 1 и i=1, 2, ... , n. Складывая числа «столбиком», каждый разряд z_i суммы z = (z_n+1 z_n z_n‑1 ... z₁) можно вычислить по формуле z_i = x_i + y_i + p_i-1, где p_i (i = 1,  2,  ...  , n+1) обозначает результат переноса из i‑го разряда в (i+1)‑ый разряд. При этом p₀ =0 и x_n+1 = y_n+1 =0. а) Выразите значения разрядов суммы z_i, i = 1, 2, ... , n+1 через значения разрядов слагаемых x_i, y_i и переносы p_i-1 в виде формулы со связками (,,); б) Выразите переносы p_i, i = 1, 2, ... , n через разряды слагаемых x_i, y_i и переносы p_i-1 в виде формулы со связками (, , ). Указание: составьте таблицы истинности для функций z_i, p_i и затем запишите для каждой из них СДНФ или СКНФ.

С помощью эквивалентных преобразований приведите формулу к виду ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ, СПНФ:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Докажите, что формула является тавтологией тогда и только тогда, когда соответствующая ей СДНФ состоит из 2ⁿ дизъюнктивных членов, где n – число переменных символов.

Докажите, что формула является противоречием тогда и только тогда, когда соответствующая ей СКНФ состоит из 2ⁿ конъюнктивных членов.

Запишите все булевы функции от двух переменных на языке формул, содержащих только связки из следующих систем: (  ,  ), (  ,  ), (  ,  ), (  ) – штрих Шеффера и (  ) – стрелка Пирса.

Определите принадлежность функций к основным замкнутым классам: а) f (x, y) = ; б) f (x, y, z) = (x  y) ; в) f (x, y, z) = x  (z  y); г) f (x, y, z) = (x  y)  y & z; д) f (x, y, z) = (x ) & z  ( z); е) f (x, y, z) = (x )  (y ).

Используя доказательство леммы о несамодвойственной функции, подберите для каждой функции из задачи 32 такую замену переменных, с помощью которой можно получить константу 0 или 1.

Используя доказательство леммы о немонотонной функции, подберите для каждой функции из задачи 32 такую замену переменных, с помощью которой можно получить .

Используя доказательство леммы о нелинейной функции, подберите для каждой функции из задачи 32 такую замену переменных, с помощью которой можно получить функцию &.

Является ли полной система функций? Образует ли она базис?

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) F = {}

Для функции f(x, y, z), заданной своими нулевыми наборами, постройте все МДНФ методом неопределенных коэффициентов: а) f(0,1,1)=f(1,0,0)=f(1,1,1)=0; б) f(0,0,0)=f(0,1,1)=f(1,1,1)=0; в) f(0,0,1)=f(0,1,0)=f(1,0,1)=0; г) f(0,0,0)=f(0,0,1)=f(1,1,0)=0.

Для функции f(x, y, z), заданной своими единичными наборами, постройте все ТДНФ методом «наискорейшего спуска»: а) f(0,0,0)=f(0,1,1)=f(1,0,0)=f(1,1,1)=1; б) f(0,1,0)=f(1,0,0)=f(1,1,0)=f(1,1,1)=1; в) f(0,0,0)=f(1,0,0)=f(1,0,1)=f(1,1,0)=1; г) f(0,0,0)=f(0,0,1)=f(0,1,0)=f(1,0,0)=1.

Постройте СокрДНФ путем аналитических преобразований «склеивания» и «поглощения» для f(x, y, z), заданной своими нулевыми наборами: а) f(0,1,0)=f(1,0,0)=f(1,1,0)=0; б) f(1,0,1)=f(1,1,0)=f(1,1,1)=0; в) f(1,0,0)=f(1,1,0)=f(1,1,1)=0; г) f(0,0,0)=f(1,0,0)=0.

Для функции f(x, y, z), заданной своими нулевыми наборами, – нарисуйте геометрическое представление; – выпишите все интервалы 3-го, 2-го и 1-го ранга; – выпишите все покрытия для f(x, y, z) ранга 6 и изобразите их графически; – составьте покрытие, соответствующее СокрДНФ и изобразите его графически; – выпишите все неприводимые покрытия: а) f(0,0,0)=f(1,0,0)=f(1,1,0)=0; б) f(1,0,0)=f(1,0,1)=f(1,1,0)=0; в) f(0,0,0)=f(0,1,0)=f(1,1,0)=0; г) f(0,0,1)=f(1,0,0)=f(1,1,0)=0.

Для функции f(x, y, z), заданной своими единичными наборами, постройте ДНФ Куайна: а) f(0,1,0)=f(1,0,0)=f(1,0,1)=f(1,1,0)=1; б) f(0,1,1)=f(1,0,0)=f(1,0,1)=f(1,1,1)=1; в) f(0,0,0)=f(0,1,0)=f(1,1,0)=f(1,1,1)=1; г) f(0,0,0)=f(0,0,1)=f(0,1,1)=f(1,0,0)=1.

Для функции четырех переменных f(x, y, z, v), заданной своими нулевыми наборами, постройте карту Карно и, пользуясь полученной картой, запишите СокрДНФ и составьте все возможные МДНФ: а) f(0,1,0,0)=f(0,1,1,0)=f(0,1,1,1)=f(1,0,0,1)=f(1,1,0,1)=f(1,1,1,1)=0; б) f(0,0,0,1)=f(0,1,0,1)=f(0,1,1,0)=f(1,0,1,0)=f(1,0,1,1)=f(1,1,0,1)=0; в) f(0,0,0,1)=f(0,0,1,1)=f(0,1,1,1)=f(1,0,0,0)=f(1,0,0,1)=f(1,0,1,0)=0; г) f(0,0,1,1)=f(0,1,0,0)=f(0,1,0,1)=f(1,0,0,0)=f(1,0,1,1)=f(1,1,1,1)=0.