14. Замыкание систем функций алгебры логики

Рассмотрим ещё два понятия: замыкания и замкнутого класса, которые тесно связаны с понятием полноты.

Пусть М  Р₂ – некоторое подмножество множества всех функций алгебры логики. Замыканием М называется множество тех истинностных функций, которые могут быть выражены формулой над М.

Замыкание М обозначается [M].

Примеры:

Пусть М = Р₂, тогда [M] = Р₂.

Пусть М = {}, тогда [M] = Р₂.

Пусть М = {1,}, тогда [M] = {f(x₁,…,x_n)P₂: f(x₁,…,x_n) = c₀c₁x₁c_nx_n, где с_i0 или 1}. Т.е. [M] – это множество функций, представимых линейным выражением или класс всех линейных функций.

Свойства замыкания:

Для всякого множества функций алгебры логики М замыкание «шире» самого множества М. Или [M]  М.

Для всякого множества функций М замыкание замыкания М есть само замыкание М. Или [[M]] = [М].

Если множество функций М₁ является подмножеством множества функций М₂, то замыкание М₁ является подмножеством замыкания М₂. Или если М₁  М₂, то [М₁]  [М₂].

Объединение замыканий двух множеств является подмножеством замыкания объединения этих множеств. Или [М₁]  [М₂]  [М₁  М₂].

Класс функций М называется функционально замкнутым или просто замкнутым, если его замыкание совпадает с ним самим, т.е. [M] = М.

Так, например, множество всех функций алгебры логики – функционально замкнутый класс. А множества {Ø,&}, {Ø,Ú}, {Ø,®} не являются замкнутыми классами, поскольку их замыканием является множество всех функций алгебры логики. То же можно сказать и о других полных системах функций. Тем самым, определение полной системы функций можно сформулировать в терминах замыканий: система функций М является функционально полной, если её замыкание совпадает с множеством всех функций алгебры логики, т.е. [M]=P₂.

15. Важнейшие замкнутые классы

1) Класс функций, сохраняющих ноль. Обозначение: Т₀.

Т₀={f(x₁,x₂,…,x_n)P₂: f(0,0,…,0)=0}, таким образом, этот класс состоит из тех функций алгебры логики, которые на наборе, состоящем из одних нулей, имеют значение ноль. Или, что то же самое, в верхней строке таблицы истинности значение этих функций равно нулю. И поскольку, ровно половина всех функций в верхней строке равны нулю, то число функций от n переменных, относящихся к классу Т₀, равно . Из элементарных функций к этому классу относятся следующие: 0, х, &, , . А такие, как 1, , ,  не принадлежат классу Т₀.

Утверждение:

Т₀ – замкнутый класс, т.е. [Т₀]=T₀.

Доказательство:

По свойствам замыканий Т₀  Т₀. Покажем, что Т₀  Т₀. Для этого рассмотрим произвольную функцию Ф Т₀. По определению замыкания функция Ф выражается формулой через функции класса Т₀, т.е. Ф=f(f₁,f₂,…,f_m), где функции f, f₁, f₂,…,f_mТ₀. Тогда Ф(0,0,…,0)=f(f₁(0,…,0),f₂(0,…,0),…,f_m(0,…,0)) = f(0,…,0)=0. Таким образом, функция ФТ₀. И так как Ф – произвольная функция из замыкания, то Т₀  Т₀. И, следовательно, Т₀ = Т₀.

2) Класс функций, сохраняющих единицу. Обозначение: Т₁.

Т₁={f(x₁,x₂,…,x_n)P₂: f(1,1,…,1)=1}, таким образом, этот класс состоит из тех функций алгебры логики, которые на наборе, состоящем из одних единиц, имеют значение 1. Или, что то же самое, в нижней строке таблицы истинности значение этих функций равно единице. И, поскольку, ровно половина всех функций в нижней строке равны единице, то число функций от n переменных, относящихся к классу Т₁, равно . Из элементарных функций к этому классу относятся следующие: 1, х, &, , , . А такие, как 0, ,  не принадлежат классу Т₁.

Утверждение:

Т₁ – замкнутый класс, т.е. [Т₁]=T₁.

Доказательство:

По свойствам замыканий Т₁  Т₁. Покажем, что Т₁  Т₁. Для этого рассмотрим произвольную функцию Ф Т₁. По определению замыкания функция Ф выражается формулой через функции класса Т₁, т.е. Ф=f(f₁,f₂,…,f_m), где функции f, f₁, f₂,…,f_mТ₁. Тогда Ф(1,1,…,1)=f(f₁(1,…,1),f₂(1,…,1),…,f_m(1,…,1)) = f(1,…,1)=1. Таким образом, произвольно взятая функция Ф из Т₁ принадлежит и классу Т₁. Поэтому Т₀  Т₀. Следовательно Т₀ = Т₀.

3) Класс самодвойственных функций. Обозначение: S.

S={f(x₁,x₂,…,x_n)P₂: f(x₁,x₂,…,x_n)=f ^*(x₁,x₂,…,x_n) }, таким образом, этот класс состоит из тех функций алгебры логики, которые совпадают с двойственными к ним. Заметим, что такие функции на противоположных наборах принимают противоположные значения, т.к. f(x₁,x₂,…,x_n)=. Таблицы истинности этих функций имеют зеркальную симметрию верхней половины строк таблицы и инвертированной нижней половины строк относительно середины всех строк таблицы. Тем самым, самодвойственные функции полностью определяются своими значениями на первой половине строк таблицы. Число таких строк для функций от n переменных равно =2^n-1 и, следовательно, число функций от n переменных, относящихся к классу S, равно . Из элементарных функций самодвойственными являются только тождественная функция х и отрицание .

Утверждение:

S – замкнутый класс, т.е. [S]= S.

Доказательство:

По свойствам замыканий S  S. Покажем, что S  S. Для этого рассмотрим произвольную функцию ФS. По определению замыкания функция Ф выражается формулой через функции класса S, т.е. Ф=f(f₁,f₂,…,f_m), где функции f, f₁, f₂,…,f_mS. Тогда Ф^*=f^*(f₁^*,f₂^*,…,f_m^*) = f(f₁,f₂,…,f_m)=Ф. Таким образом, функция ФS. И так как Ф – произвольная функция из замыкания, то S  S. Отсюда следует, что S = S.

Лемма о несамодвойственной функции

Если функция алгебры логики не принадлежит классу самодвойственных функций, то всегда можно указать такую замену её переменных функциями х и , что в результате этой замены будет получена константа 0 или 1.

Доказательство:

Доказательство имеет конструктивный характер и показывает, как подобрать такую замену переменных. Рассмотрим произвольную несамодвойственную функцию от n переменных f(x₁,x₂,…,x_n). Так как fS, то существует такой набор значений переменных ₁,₂,…,_n, что f(₁,₂,…,_n), а это значит, что f(₁,₂,…,_n) =. Заметим, что для самодвойственной функции такого набора не существует по определению. Введем также в рассмотрение функции g_i(x)=x^i, где i=1,2,…,n, и g_i(x) равно либо х, либо , в зависимости от значения _i. Произведем замену переменных x₁,x₂,…,x_n в функции f на g₁(x), g₂(x),…, g_n(x) соответственно. Покажем, что полученная в результате этой замены функция Ф(х)= f(g₁(x), g₂(x),…, g_n(x)) является константой. Действительно, т.к. Ф(х)=f(x^1,x^2,…,x^n), то Ф(0)=f(0^1,0^2,…,0^n), но 0^i равно =1, если _i=0, и равно 0, если _i=1, тем самым, 0^i=. Тогда Ф(0)==^{(по условию)}f(₁,₂,…,_n) = f(1^1,1^2,…,1^n) = Ф(1). Т.е. Ф(х) имеет постоянное значение для всех значений х, и Ф(х) – константа.

Пусть функция f(х,y,z)=. Заметим, что f(0,0,0)= f(1,1,1). Поэтому набор (1,1,1) можно взять для формирования функций g_i(x)=x^i, где i=1,2,3. На выбранном наборе все эти функции равны тождественной функции х. Выполним замену каждой переменной на х. Получим: f(х,х,х)= .

Понятно, что никакая замена переменных на х или в самодвойственной функции не может привести к константе, а только к х или .

4) Класс монотонных функций. Обозначение: М.

Функция f(x₁,x₂,…,x_n)P₂ называется монотонной, если для любых двух наборов =(₁,₂,…,_n) и =(₁,₂,…,_n) таких, что _i  _i, где i=1,2,…,n, следует f()  f(). Про такие наборы говорят, что набор  предшествует набору , и обозначают   . Из элементарных функций монотонными являются 0, 1, тождественная функция х, , . А функции , , , , ,  монотонными не являются.

Утверждение:

М – замкнутый класс, т.е. [М]= М.

Доказательство:

По свойствам замыканий М  М. Покажем, что М  М. Т.к. функция хМ, то достаточно рассмотреть произвольную функцию ФМ. По определению замыкания функция Ф выражается формулой через функции класса М, т.е. Ф(x₁,x₂,…,x_n)=f(f₁,f₂,…,f_m), где функции f, f₁, f₂,…,f_mМ. Пусть =(₁,₂,…,_n) и =(₁,₂,…,_n) – два набора значений переменных (x₁,x₂,…,x_n) таких, что _i  _i, где i=1,2,…,n. Эти наборы определяют наборы значений переменных для функций f₁,f₂,…,f_m: а₁=(₁₁,₁₂,…,_1s1) и b₁=(₁₁,₁₂,…,_1s1),…, а_m=(_m1,_m2,…,_msm) и b_m=(_m1,_m2,…,_msm), которые (вследствие того, что   ) также попарно предшествуют друг другу. Т.е. а₁  b₁ и а₂  b₂ и …а_m  b_m. Но функции f₁, f₂,…,f_m монотонны, поэтому f₁(а₁)  f₁(b₁), f₂(а₂)  f₂(b₂), …, f_m(а_m)  f_m(b_m). Тогда рассматривая  =(f₁(а₁), f₂(а₂),…, f_m(а_m)) и  =(f₁(b₁), f₂(b₂), …, f_m(b_m)) как наборы значений переменных функции f, имеем:      и f( )  f( ) ввиду монотонности f. Но Ф()=f( ) и Ф()=f( ), т.е. для     Ф()  Ф(). И, следовательно, функция ФМ. Но Ф – произвольная функция из замыкания, поэтому М  М. Отсюда по определению равных множеств следует: М = М.

Лемма о немонотонной функции

Если функция алгебры логики не принадлежит классу монотонных функций, то из неё путем подстановки констант 0, 1 и функции х на места переменных можно получить функцию .

Доказательство:

Доказательство имеет конструктивный характер и показывает, как подобрать такую замену переменных. Рассмотрим произвольную немонотонную функцию от n переменных f(x₁,x₂,…,x_n). Так как fМ, то существуют такие наборы значений переменных  и , что    и f() > f().

Если наборы  и  смежны, т.е. различаются только одной i–той координатой (при этом в наборе  на i–том месте стоит ноль, а в наборе  – единица), то цель достигнута – можно сделать замену переменных (x₁,x₂,…,x_n) на (₁,…,_i‑1,x,_i+1,…,_n). После этой замены будет получена функция одной переменной g(x) = f(₁,…,_i‑1,x,_i+1,…,_n). Причем g(0)=f(₁,…,_i‑1,0,_i+1,…,_n)=f(), а g(1)=f(₁,…,_i‑1,1,_i+1,…,_n)=f(). И так как f() > f(), то g(0) > g(1), а это значит, что g(0)=1 и g(1)=0, т.е. g(x)=.

Если же наборы  и  несмежны, то они отличаются в нескольких координатах, и пусть число этих координат равно k (где k>1). И так как   , то в наборе  эти k координат равны 0, а в наборе  они равны 1. Поэтому между наборами  и  можно вставить (k ‑1) промежуточных наборов ₁,₂,…,_k-1 таких, что   ₁  ₂ … _k-1  , образующих цепь смежных наборов, связывающих  и . И так как f() > f(), то в этой цепи существуют два смежных набора _i и _i+1 (где _i  _i+1), для которых f(_i) > f(_i+1). Тогда также, как и в первом случае, эти наборы _i и _i+1 можно использовать для замены.

Пусть функция f(х,y)=ху. Заметим, что на наборах (0,0) и (1,0), которые являются смежными, значения функции находятся в соотношении: f(0,0)>f(1,0). Поэтому можно выполнить замену переменной у на 0, а переменную х оставить без изменений. После замены получим: f(х,0)=х0=.

5) Класс линейных функций. Обозначение: L.

L={f(x₁,x₂,…,x_n)P₂: f(x₁,x₂,…,x_n)=c₀c₁x₁c₂x₂…c_nx_n, где c₀,c₁,c₂,…,c_n равны 0 или 1}. Таким образом, этот класс состоит из тех функций алгебры логики, которые представимы линейным выражением. Различные линейные функции от n переменных отличаются друг от друга составом слагаемых, входящих в их линейные выражения. Этот состав определяется значением коэффициентов: если соответствующий коэффициент равен нулю, то слагаемое отсутствует. И так как число коэффициентов равно n+1, то число функций от n переменных, относящихся к классу L, равно 2ⁿ⁺¹. Из элементарных функций линейными являются тождественная функция х, отрицание , константы 0 и 1, а также  и .

Утверждение:

L – замкнутый класс, т.е. [L]= L.

Доказательство:

По свойствам замыканий L  L. Покажем, что L  L. Т.к. хL, то достаточно рассмотреть произвольную функцию ФL. По определению замыкания функция Ф выражается формулой через функции класса L, т.е. Ф=f(f₁,f₂,…,f_m), где функции f, f₁, f₂,…,f_mL. Иными словами функция Ф представляет из себя «линейное выражение от линейных выражений», а оно в свою очередь линейно. Таким образом, функция ФL. И так как Ф – произвольная функция из замыкания, то L  L. Следовательно, L = L.

Лемма о нелинейной функции

Если функция алгебры логики от n переменных f(x₁,x₂,…,x_n) нелинейна, то из неё можно получить х₁& x₂ путем подстановки констант 0 или 1 и функций х и , а также, возможно, размещением знака отрицания над f.

Доказательство:

Рассмотрим полином Жегалкина для функции f: . Вследствие нелинейности функции f(x₁,x₂,…,x_n) в полиноме обязательно найдется слагаемое, содержащее не менее двух сомножителей. Без уменьшения общности можно считать, что этими сомножителями являются х₁ и х₂. Преобразуем полином к виду: = х₁х₂f₁(х₃,…,х_n)  х₁f₂(х₃,…,х_n)  х₂f₃(х₃,…,х_n)   f₄(х₃,…,х_n). Так как f(x₁,x₂,…,x_n) нелинейна, то f₁(х₃,…,х_n)0 и существует набор значений ₃,…,_n такой, что f₁(₃,…,_n)=1. Подставим этот набор в полином. Тогда f(x₁,x₂,₃,…,_n) = х₁х₂f₁(₃,…,_n)  х₁f₂(₃,…,_n)   х₂f₃(₃,…,_n)  f₄(₃,…,_n) = х₁х₂  х₁a  х₂b  c, где a, b и с равны нулю или единице. Теперь заменим х₁ на (х₁b) и х₂ на (х₂а) – это соответствует подстановке функций вида: х или , в зависимости от значений a и b. Получим: f(x₁b, x₂а,₃,…,_n) = (х₁b)(х₂а)  (х₁b)a  (х₂а)b  c = = х₁х₂  х₁a  х₂b  ab  х₁a  ab  х₂b  ab  c = х₁х₂  ab  c. К последнему выражению добавим (ab  c) – это соответствует возможному размещению знака отрицания над функцией. В итоге будет получена функция двух переменных (x₁,x₂) = х₁х₂ = х₁ & х₂. Что и требовалось доказать.

Пусть функция алгебры логики задана полиномом Жегалкина: f(х,y,z,t) = xyz  yzt  xy  zt  xz  x  1. Здесь для компактности записи пропущен знак «». Выполним преобразования полинома, как указано в доказательстве леммы: f(х,y,z,t) = xy(z  1)  x(z  1)  yzt  (zt  1). Таким образом, в соответствии с введенными в лемме обозначениями f₁(z,t) = z  1, f₂(z,t) = z  1, f₃(z,t) = zt, f₄(z,t) = zt  1. Заметим, что f₁(z,t) = 1 при z = 0 и t = 0 или t = 1. Для определенности рассмотрим набор (z,t) = (0,1). На выбранном наборе f₂(0,1) = 1, f₃(0,1) = 0 и f₄(z,t) = 1, т.е. a, b и с равны соответственно 1, 0 и 1. И f(х,y,0,1) = xy  x  1. Заменим теперь у на у  1. Тогда f(х, y1,0,1) = x(y  1) x  1= xy  x  x  1= xy  1. Добавим к последнему выражению (ab  c)=1 и (х,у) = ху. Тем самым, с помощью замены х на х, у на , z на ноль и t на единицу, а также установки знака отрицания над функцией получена конъюнкция.

	Т0	Т1	S	M	L
0	+	–	–	+	+
1	–	+	–	+	+
	–	–	+	–	+
Таблица 17

Отметим, что все замкнутые классы попарно различны. Это хорошо видно из таблицы 17, где знаком «+» отмечена принадлежность функций 0, 1 и к классу, а знаком «–» отсутствие соответствующей функции в классе.