03 семестр / Лекции и семинары / Лекции

Определение 8 (Стереографическая проекция. Сфера Римана).

Как было сказано выше, склеим все точки окружности бесконечно большого радиуса. Полученная сфера называется сферой Римана. Чтобы получить стереографическую проекцию какойлибо точки z комплексной плоскости,

необходимо

провести прямую, соединяющую точки z и N. Точка пересечения прямой и сферы и будет искомой проекцией.

Определение 9 (Открытое и замкнутое множества в C, граница множества). Говорят, что множество Ω C является открытым, если любая точка, принадлежащая множеству Ω, входит в него вместе со своей окрестностью.

c Ω U(c) Ω.

Говорят, что точка c является граничной, если любая окрестность U(c) содержит как точки, принадлежащие Ω, так и не принадлежащие

Ω.

Замыканием открытого множества Ω - Ω назовем объединение этого множства с границей:

S

Ω = Ω .

Замечание. Множество C открыто, множество C - замкнуто.

Определение 10 (Связное и несвязное множества). Множество Ω называется связным, если любые две его точки можно соединить кривой, принадлежащей этому множеству. Если существуют точки, которые нельзя соединить кривой, целиком лежащей в Ω, множество Ω называется несвязным.

Замечание. Множество Ω называется областью, если оно одновременно является открытым и связным.

Определение 11 (Односвязное и многосвязное множества). Множесво

Ω называется односвязным, если любую замкнутую кривую, принадлежащую множеству Ω можно непрерывным преобразованием стянуть в точку, также принадлежащую множеству Ω. В противном случае множество называется неодносвязным или многосвязным ("множество с дырками").

1.3Функции комплексного переменного

Определение 1 (Комплексная функция действительного переменного).

Пусть (t1, t2) R, кривая C. g(t) - комплексная функция действительного переменного t : g(t) : (t1, t2) → .

Замечание.

1.Функция g(t) может быть представлена в виде g(t) = g1(t) + ig2(t).

2.g(t) C(t0), t0 (t1, t2) g1(t), g2(t) C(t0);

g(t) D(t0) g1(t), g2(t) D(t0), причем g0(t0) = g10 (t0) + ig20 (t0).

Также справедливо, t → t0, или t = t − t0 → 0, g(t) − g(t0) = g0(t0)Δt + + o(Δt).

Точки на касательной к кривой в точке c = g(t0): l(t) = c + g0(t0)Δt.

Определение 2 (Комплексная функция комплексного переменного).

Пусть Z, W C, z = x + iy Z, w = u + iv W .

14 Глава 1. Введение в комплексный анализ

f(z) - комплексная функция комплексного переменного : f : Z → W , f : z 7→w, w = f(z).

При этом f : (x, y) 7→(u, v);

Вещественное представление комплексной функции комплексного переменного имеет вид: f(z) = u(x, y) + iv(x, y).

Определение 3 (Предел функции комплексного переменного).

Пусть f : Z → W , c Z, p W .

lim f(z) = p : Uε(p) Uδ(c) : z U˙ δ(c) f(z) Uε(p).

z→c

Определение 4 (Непрерывность функции комплексного переменного).

Пусть f : Z → W, c Z, f(c) W . Говорят, что функция f непрерывна в

Теорема 1 (Критерий непрерывности функции комплексного

Чтобы функция f была непрерывна в точке c, необходимо и достаточно, чтобы функции u(x, y) и v(x, y) были непрерывны в точке (a, b), т.е. чтобы u(x, y), v(x, y) C(a, b).

Аналогично доказывается, что v(x, y) C(a, b).

Докажем достаточность.

Определение 5 (Комплексная дифференцируемость функции

Замечание. Определения 6 и 5 эквивалентны, но определение 6 является более удобным для доказательства.

Определение 7 (Вещественное дифференцирование функции комплексного переменного).

f(z) = u(x, y) + iv(x, y); c = a + ib;

f DR(c) : u(x, y), v(x, y) D(a, b).

Замечание. В отличие от комплексной функции действительного переменного, дифференцируемости действительной и мнимой частей недостаточно для комплексной дифференцируемости функции комплексного переменного.

Теорема 2 (Критерий комплексной дифференцируемоси функции комплексного переменного (Коши-Риман)). Пусть задана функция комплексного переменного:

f: Z → W, f(z) = u(x, y) + iv(x, y); c = a + ib Z;

fDC(c)

1.f DR(c);

2.В точке (a, b) выполняются условия Коши-Римана:

∂u∂x = ∂y∂v , ∂u∂y = −∂x∂v ,

Доказательство. Докажем, что из комплексной дифференцируемости ФКП следует выполнение условий (1) и (2).

Теперь докажем обратное: из условий (1) и (2) следует комплексная

Теорема 3 (Свойства комплексно-дифференцируемой функции комплексного переменного). Для комплексно-дифференцируемых функций комплексного переменного справедливы следующие свойства:

DC f(c) , причем

Доказательство. Свойства 1-3 доказываются на основе определения 6

Замечание (Отображение кривых и производных). γ : (t1, t2) → , f : → f , γ(t0) = c , f0(c) 6= 0, γ D(t0).

f(γ) 0(t0) = f0(c) · γ0(t0)

Теорема 4 (Геометрический смысл модуля и аргумента производной).

Пусть задана функция f : Z → W, f DC(c), f0(c) 6= 0. Тогда

1.f0(c) - коэффициент локального растяжения плоскости под действием f.

2.arg f0(c) - угол локального поворота плоскости под действием f.

Замечание. Теорема 4 утверждает, что при действии отображения f,

имеющего ненулевую производную, комплексная плоскость локально поворачивается и растягивается.

1.3. Функции комплексного переменного

1, 2 Z; c = 1 T 2; α = 1 2 f 1 f 2 = α.

Доказательство. α - угол между касательными к 1 и 2. Под действием

fкасательные к кривым 1 и 2 перейдут в касательные к кривым f 1 и

f2, которые повернутся на один и тот же угол arg f0(c). Следовательно,

угол между касательными сохранится.

Замечание. Аналитические функции называют также голоморфными. В действительном анализе аналитическими называются функции, ряд

Тейлора которых сходится к самой функции. Далее буде доказано, что определение 8 для комплексных функций эквивалентно действительному определению.

Предварительно мы докажем, что функция комплексного переменного, дифференцируемая в точке один раз, дифференцируема в этой точке сколько угодно раз f DC(c) f DC∞(c) .

Определение 9 (Гармонические функции действительных переменных).

Теорема 6 (Гармоничность вещественного представления аналитической функции). f : Z → W, f O(z), f(z) = u(x, y)+iv(x, y) u(x, y), v(x, y)

- гармонические в Z R2.

∂2Φ + ∂2Φ = 0. u(x, y) - гармоническая в z.

∂x2 ∂y2

Аналогично доказывается гармоничность функции v(x, y).