§ 3 Эластичность функции

При описании динамики экономических явлений мы сравнивали изменения результата у(х) с величиной приложенных усилий х, т.е. изучали отношение - среднюю эффективность усилий; и переходя к пределу при х0 этого отношения, получали предельную эффективность на уровне усилий х.

В некоторых экономических задачах необходимо проводить аналогичные сравнения не для абсолютных приращений х и у, а для относительных приращений и (безразмерных величин).

Эластичностью E_x(y) функции у называется предел отношения относительного приращения функции у к относительному приращению переменной х при х0, , .

Эластичность функции показывает, на сколько процентов изменится функция у = f(х) при изменении независимой переменной х на 1%.

Геометрический смысл эластичности функции По определению эластичности имеем , где - тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции у=f(х) в точке М(х;у).

Если f(x) – возрастает на промежутке Х, то из АВМ имеем: у = АВ, тогда , Т.о., эластичность функции f(х) в точке М равна отношению ОА к	у=f(х) у М(х;у) у В  А 0 х	Если f(x) убывает на промежутке Х, то из АВМ имеем АМ=у=АВ=-,	у=f(х) С у М(х;у) у А   0 х В
ВА - проекции касательной в точке М на ось ОХ. Если абсцисса точки B>0, то АВ<АО и >1, если абсцисса точки B<0, то АВ>АО и <1.		Eсли СМ>МВ, то>1; если СМ<МВ, то <1. Замечание для убывающей функции )<0.

Если >1, то тенденцию, описывающую функцией у читают эластичной, <1 – неэластичной.

Свойства эластичности функции (ЭФ)

1⁰. ЭФ – безразмерная величина, не зависящая от единиц измерения х и у.

2⁰. ЭФ – зависит от величины аргумента х, т.е. является функцией переменной х.

3⁰. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций ,

4⁰. Эластичности взаимно-обратных функций взаимно-обратны

5⁰. ЭФ равна произведению независимой переменной х на темп роста функции , т.е. .

§ 4 Примеры использования эластичности функции в экономике

Исследуем наиболее часто рассматриваемые в экономике зависимости на характер их эластичности.

Основополагающими факторами, влияющими на коммерческую деятельность в условиях рыночной экономике, являются спрос D (demand) и предложение S (supply) товара на рынке. Их соотношение определяет состояние рынка: рыночное равновесие, если D = S; дефицит, если D > S; - перепроизводство, если D < S.

Рассмотрим влияние на спрос D и предложение S различных факторов: цены p (price) товара и дохода J (income).

Наименование функции	Обозначение функции	Эластичность функции
1. функция спроса относительно цены и наоборот	D = D(р) (Р = Р(D))
2. функция продолжения относительно цены	S = S(p)
3. функция спроса относительно дохода	D = D(J)

Модель 1. Функция спроса относительно цены и её эластичность. Закон понижающегося спроса гласит: потребитель склонен покупать, больше товара по низким ценам и меньше – по высоким.

Линейная модель спроса	Экспоненциальная модель	Гиперболическая модель
(b0>0, к>0) D b0 b0/k p	(а >0, b >0) a p	( >0)

В рассмотренных моделях функция спроса D(р) - убывающая, это указывает на отрицательную эластичность.

Эластичность спроса относительно цены показывает, на сколько процентов изменится спрос D на данный товар, если цена товара возрастает на 1%.

Построим соответствующие графики функции переменной цены р.

b0/к

Зная функцию спроса D(р), можно найти выручку от продаж W(p)= р D(р) и предельную выручку от продаж

.

Учитывая что для рассмотренных моделей Е_р(D)<0, имеем: .

Т.о, если абсолютная величина эластичности >1, то предельная выручка <0, т.е. рост цены на товар приедет к снижению выручки от его продаж. Снижение цены увеличит выручку. Спрос в этом случае является эластичным. Если <1, то >0, т.е. снижение цены ведет к снижению выручки от продажи товара, а рост цены – к увеличению выручки. Такой спрос называют неэластичным.

Для эластичного спроса изменение цены и предельного дохода происходят в противоположных направлениях, для неэластичного спроса – в одном направлении.

Экономические примеры:

1. Ситуация эластичного спроса возникает на конкурентном рынке (цена диктуется условием рыночного равновесия). Фирмы снижают цены на продукцию, чтобы увеличить объем продаж и повысить суммарную выручку от продаж.

2. В условиях чистой конкуренции большая часть сельскохозяйственной продукции неэластична. Очень высокий урожай приводит к снижению цены, а значит и выручки от его продажи (для фермеров не всегда выгоден высокий урожай).

С увеличением цены продукции эластичного спроса суммарный доход от её реализации увеличивается, а для товаров неэластичного спроса – падает.

Модель 2. Функция предложения относительно цены и её эластичность.

Предложением (поставкой) S называют количество товара, предлагаемого на продажу в единицу времени.

Рассмотрим S = S(p) - зависимость предложения S от цены товара р.

Если функция спроса D(р) описывает реакцию покупателей, то функция предложения S(p) описывает реакцию производителей (поставщиков) на изменение текущей цены товара р.

Как правило, рост цен р стимулирует предложение, т.е. функция S(p) является возрастающей. Однако в отдельных случаях предложение может возрастать с падением цен - S(p) будет убывающей функцией (производители вынуждены удерживать уровень дохода, за счет увеличения поставок).

Эластичность предложения S относительно цены р: показывает, на сколько процентов изменится предложение, если цена товара вырастает на 1%.

Модель 3. Функция спроса относительно дохода и её эластичность.

При постоянных прочих факторах спрос D зависит от дохода J: D = D(J).

Эластичность спроса D относительно дохода J: , показывает, на сколько процентов изменится спрос на данный товар, если доход потребителей возрастает на 1%.

Все товары (услуги) условно можно разбить на две категории:

- товары высшей категории, потребление которых увеличивается с ростом доходов, тогда D(J) – возрастающая функция и >0. К таким товарам относятся: мясо, фрукты, дорогие напитки, предметы роскоши, автомобили;

- товары низшей категории, потребление которых снижается с ростом доходов, тогда D(J) – убывающая функция и <0. К таким товарам относятся: картофель, хлеб, мука, дешевые напитки, дешевая одежда.

Из приведенных рассуждений следует, что использование коэффициентов эластичности имеет большое практическое значение при анализе экономических явлений, т.к. позволяет более тщательно изучить характер экономической тенденции и на этой основе приять обоснованное, более эффективное управленческое решение.