Глава 2 Ряды в комплексной области.

2.1. Числовые ряды. Основные понятия

Ряд вида

=, (20)

составленный из комплексных чисел , является числовым рядом в комплексной области.

ряд называется сходящимся, если существует предел последовательности его частичных сумм:

=

=.

ряд сходится тогда, когда сходится каждый из рядов и ; (21)

при этом число − является суммой ряда.

Если не существует, то ряд называется расходящимся.

Исследования сходимости ряда (20) сводятся к исследованию сходимости двух числовых рядов (21) с действительными членами. Следовательно, справедливы основные положения из теории рядов с действительными членами.

Ряд (20) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов:

 . (22)

Из абсолютной сходимости ряда (20) следует его сходимость. сходящиеся ряды можно почленно складывать и перемножать.

Задача 14. Исследовать на сходимость числовой ряд .

Решение

.

Используя формулу Эйлера , преобразуют

.

Тогда =.

Исследование сходимости исходного ряда сводится к исследованию сходимости двух числовых рядов.

Ряды и  с действительными членами сходятся абсолютно. Следовательно, исходный ряд сходится также абсолютно.

Задача 15. Исследовать на абсолютную сходимость числовой ряд

.

Решение

Составляют ряд из модулей его членов , применяют признак Даламбера:

=.

Следовательно, ряд не сходится абсолютно.

Задача 16. Исследовать на абсолютную сходимость числовой ряд

.

Решение

Составляют ряд из модулей его членов , применяют радикальный признак Коши:

===

.

Следовательно, ряд сходится абсолютно.

Задача 17. Исследовать на сходимость числовой ряд  .

Решение

Составляют ряд из модулей его членов  .

преобразуют .

Ряд эквивалентен ряду который расходится при . следовательно, исходный ряд не является абсолютно сходящимся. Необходимо дальнейшее исследование на условную сходимость.

Преобразуют ряд в алгебраическую форму:

.

Сходимость данного ряда определяется сходимостью двух рядов: и .

Для этих рядов выполняются оба условия признака Лейбница:

1);

2) .

Каждый из рядов и по признаку Лейбница сходится условно, поэтому и исходный ряд сходится условно.

2.2. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Свойства. Степенные ряды с комплексными членами

функциональным рядом в комплексной области называется ряд

, (23)

членами которого являются функции комплексного переменного, определенные на некотором множестве комплексной плоскости.

Функциональный ряд называется сходящимся на множестве , если на этом множестве существует предел последовательности его частичных сумм:

,

или для .

Значение называется суммой ряда.

Множество точек , для которых сходится ряд , называется областью сходимости функционального ряда.

Ряд называется равномерно сходящимся на множестве , если на этом множестве равномерно сходится последовательность его частичных сумм , т.е.

для .