2.4. Корневые критерии качества
Группа корневых критериев основана на оценке качества переходного процесса по значениям полюсов и нулей передаточных функций САУ.
В отличие от исследования устойчивости (имеют значение только полюсы передаточной функции) при оценке качества переходного процесса необходимо учитывать и нули.
Только в частном случае, когда нулей нет, качество переходного процесса определяется только полюсами. Рассмотрим именно этот случай.
Переходный процесс в устойчивой системе распадается на затухающие и колебательные составляющие. Если найти длительность самой длительной составляющей и величину колебательности самой колебательной составляющей, то по ним можно оценить верхние пределы величин длительности и колебательности всего переходного процесса.
Время затухания отдельной составляющей определяется величиной:
где
- действительная часть i
- го корня характеристического уравнения.
-
постоянная времени затухания.
Можно считать, что длительность i - ой составляющей переходного процесса:
,
то есть длительность составляющей
переходного процесса обратно
пропорциональна абсолютному значению
действительной части корней
характеристического уравнения.
Абсолютная величина
называется степенью устойчивости
и обозначается
.
При этом длительность переходного процесса будет:
Термин «степень устойчивости» связан с тем, что геометрически η – есть расстояние от мнимой оси, являющейся границей устойчивости, до ближайшего корня.
Колебательность колебательной
составляющей переходного процесса
определяется отношением соседних
максимумов:
где:
- момент появления первого максимума
i –той составляющей
переходной характеристики;
- период колебаний
Таким образом, колебательность равна:
Следовательно, мерой колебательности
является отношение
.
Чем больше это отношение, тем больше
колебательность составляющей. Наиболее
колебательной является составляющая,
у которой это отношение максимально.
Соответствующая величина называется
степенью колебательности.
В комплексной плоскости корень,
определяющий наиболее колебательную
составляющую, соответствует наибольшему
значению угла
между лучом, направленным через корень
из начала координат, и действительной
отрицательной осью.
Если передаточная функция имеет нули, то известно, что положительные члены полинома числителя передаточной функции приведут к повышению колебательности и убыстрению переходного процесса, а отрицательные – к затягиванию переходного процесса.
2.5. Интегральные критерии качества
Интегральными критериями качества называются такие, которые одним числом оценивают и величины отклонений, и время затухания переходного процесса.
Обозначим отклонение выходной величины
от нового установившегося значения
(рис.7).
Рис.7
Для монотонного процесса интегральной оценкой может служить заштрихованная площадь над кривой переходного процесса, то есть:
Такой интеграл называется линейной
интегральной оценкой. Процесс будет
тем лучше, чем меньше число
.
Однако, такая оценка не годится для
колебательного процесса, так как площади
расположенные выше и ниже прямой
будут иметь разные знаки. Поэтому по
минимуму
наилучшим
оказался бы процесс с незатухающими
колебаниями.
В связи с этим, в общем случае принимают квадратичную интегральную оценку качества в виде:
Интегральные оценки качества используются для определения оптимальных значений варьируемый параметров по минимуму значения соответствующей интегральной оценки.
Применяются интегральные критерии, обычно в теории оптимальных систем.