5.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа

Пусть функция f задана таблицей

x	x0	x1	x2	…	xn
f(x)	y0	y1	y2	…	yn

Построим интерполяционный многочлен L_n(x), степень которого не больше n и для которого выполнены условия (2).

Будем искать L_n(x) в виде:

(5)

где

(6)

Очевидно, что требование (6) с учетом (5) вполне обеспечивает выполнений условий (2).

Многочлены l_i(x) составим следующим образом:

(7)

где c_i –непостоянный коэффициент, значение которого найдем из первой части условия (6):

заметим, что ни один из множителей в знаменателе не равен 0.

Подставим c_i в (7) и далее с учетом (5) имеем:

(8)

Это и есть интерполяционный многочлен Лагранжа.

Данный многочлен используют для таблиц с неравноотстоящими узлами, т.е.

5.3. Интерполяционные многочлены Ньютона для равностоящих узлов

Часто интерполирование ведется для функций, заданных таблицами с равностоящими значениями аргумента. В этом случае шаг таблицы является величиной постоянной. Для таких таблиц построение интерполяционных формул (как и вычисление по этим формулам) заметно упрощается.

5.3.1. Конечные разности

Пусть функция задана таблицей с постоянным шагом. Разности между значениями функции в соседних узлах интерполяции называются конечными разностями первого порядка. Из конечных разностей первого порядка образуется конечные разности второго порядка:

Продолжая этот процесс, можно по заданной таблице функции составить таблицу конечных разностей:

			…
			…
			…
		…	…
…	…

Конечные разности любого порядка могут быть представлены через значения функции. Для разностей второго порядка имеем:

Аналогично для разностей третьего порядка:

и т.д.

Методом математической индукции можно доказать, что

5.3.2. Первая интерполяционная формула Ньютона

Пусть для функции, заданной таблицей с постоянным шагом, составлена таблица конечных разностей.

Будем искать интерполяционный многочлен в виде:

(9)

Это многочлен n-й степени. Значение коэффициентов найдем из условия совпадения значений исходной функции и многочлена в узлах интерполяции.

Пусть x=x₀, тогда, подставив в (9) вместо х значение х₀, мы должны получить значение y₀: , отсюда .

Далее, придавая x значения x₁, x₂ и т.д., последовательно получаем:

, отсюда

,

откуда

Далее, проводя аналогичные выкладки, можно получить , в общем случае выражение для a_k будет иметь вид:

(10)

Подставим найденные значения коэффициентов а_i в выражение для многочлена (9)

(11)

На практике эта формула применяется в несколько ином виде

Положим , т.е. .

Тогда:

и т.д.

Окончательно имеем:

(12)

Формула (12) называется первой интерполяционной формулой Ньютона.

Эта формула применяется для интерполирования в начале отрезка интерполяции, когда t мало по абсолютной величине. Первую интерполяционную формулу Ньютона называют по этой причине формулой для интерполирования вперед. За начальное значение x₀ можно принимать любое табличное значение аргумента x_i.