8.5. Перехідні процеси при короткому замиканні у колі з r та l

Розглянемо електричне коло з послідовним з’єднанням R та L (рис. 8.5).

Нехай при t=0 активний опір R та індуктивна котушка L замикаються накоротко за допомогою вимикача S.

Знайдемо закон зміни струму у колі після замкнення вимикача S.

Задаємося додатнім напрямом перехідного струму i та напрямом обходу контуру. Визначимо незалежні початкові умови, для чого розрахуємо коло до комутації:

.

Перехідний процес у колі описується рівнянням:

або .

Дане диференційне рівняння є однорідним. Тобто сталий струм буде дорівнювати нулю, а перехідний процес зумовлений тільки енергією, яка запасена у магнітному полі котушки. Тому рішення диференційного рівняння буде таким:

,

де: – сталий струм;

- вільний струм.

Визначимо . Для цього вирішимо однорідне диференційне рівняння:

.

Рішення цього рівняння має вигляд:

де – стала інтегрування, яка визначається з початкових умов;

– корінь характеристичного рівняння .

Визначимо з ПУ при ,

, звідси .

Отже ,

тобто струм зменшується по експоненті.

Затухання вільної складової ПП характеризується сталою часу кола:

[с]

Сталою часу кола називається величина інтервалу часу, за який вільні складові струму чи напруги зменшуються в е (е = 2,71…) раз.

Сталу часу можна визначити графічно, як довжину довільної піддотичної до експоненти (рис. 8.6).

Теоретично ПП у колі триває нескінченно довго, а практично .

Величина, обернена до сталої часу, зветься коефіцієнтом згасання .

Для кола R, L:

[1/с].

Отже, вільний струм у колі затухає тим швидше, чим більше R та чим менше L.

Напруга у контурі R, L буде дорівнювати:

.

Напруга на активному опорі змінюється аналогічно струму.

Напруга на індуктивній котушці :

Напруга в момент комутації змінюється стрибком від 0 до , це видно на графіку рис. 8.6.

ПП у контурі R, L зумовлений енергією, яка запасена в магнітному полі котушки . При ця енергія перетворюється в теплову: .

Підставивши значення перехідного струму, отримаємо:

.

Отже, кількість тепла, яка виділяється на резисторі , дорівнює енергії, яка запасена у магнітному полі котушки.

Якщо в схемі рис 8.5 просто розімкнути коло, то струм в котушці практично миттєво зменшиться до нуля . При цьому у котушці буде наводитися дуже велика ЕРС самоіндукції . Виникаюче при цьому перенапруження у котушці може призвести до пробою ізоляції, пошкодженню та виходу з ладу рубильника тощо. Тому при вимкненні котушок від мережі їх замикають накоротко або на розрядний резистор.

8.6. Перехідні процеси при включенні кола з послідовним з’єднанням r та l до джерела постійної напруги

Знайдемо закон зміни струму при замкненні вимикача (рис. 8.7)

Дано: R, L.

Визначимо: .

Задаємося додатнім напрямком перехідного струму та обходу контуру і визначимо незалежні ПУ:

.

ПП у колі описуються рівнянням:

,

або .

Рішення цього рівняння шукаємо у вигляді: .

Сталий струм і_с – це струм у колі після закінчення ПП, коли , тому , звідки

Вільний струм визначається з рішення однорідного диференційного рівняння:

Рішенням цього рівняння буде , де - корінь характеристичного рівняння:

Тоді струм ПП дорівнює:

.

Сталу інтегрування визначаємо з початкових умов при :

, або , звідки .

Кінцевий вираз для перехідного струму буде мати вигляд:

.

Напруга на активному опорі u_R буде:

.

Напруга на індуктивній котушці u_L буде:

.

Напруга на активному опорі u_R змінюється аналогічно струму від 0 до прикладеного значення .

Напруга u_L в момент комутації зростає стрибком до величини прикладеної напруги , а при прямує до 0.

Графіки перехідних i, u_R , u_L приведені на рис. 8.8

Під час ПП енергія джерела витрачається на утворення магнітного поля котушки і на нагрівання резистора .