8.7. Стоячие волны в длинных линиях

Как было показано выше, решение уравнений длинной линии можно представить в виде суммы прямой и обратной волн. В результате их наложения в цепях с распределенными параметрами возникают смешанные в том числе и стоячие волны.

Рассмотрим два предельных случая: ХХ и КЗ в линии без потерь, когда поглощаемая приемником активная мощность равна нулю.

При ХХ на основании уравнений (17) и (18) имеем

и ,

откуда для мгновенных значений напряжения и тока можно записать

;

(19)

.

(20)

Последние уравнения представляют собой уравнения стоячих волн, являющихся результатом наложения прямой и обратной волн с одинаковыми амплитудами.

При ХХ в соответствии с (19) и (20) в точках с координатами , где k - целое число, имеют место максимумы напряжения, называемые пучностями, и нули тока, называемые узлами. В точках с координатами  пучности и узлы напряжения и тока меняются местами (см. рис. 2). Таким образом, узлы и пучности неподвижны, и пучности одной переменной совпадают с узлами другой и наоборот.

При КЗ на основании уравнений (17) и (18)

и ,

откуда для мгновенных значений можно записать

т.е. и в этом случае напряжение и ток представляют собой стоячие волны, причем по сравнению с режимом ХХ пучности и узлы напряжения и тока соответственно меняются местами.

Поскольку в узлах мощность тождественно равна нулю, стоячие волны в передаче энергии вдоль линии не участвуют. Ее передают только бегущие волны. Чем сильнее нагрузка отличается от согласованной, тем сильнее выражены обратные и, следовательно, стоячие волны. В рассмотренных предельных случаях ХХ и КЗ имеют место только стоячие волны, и мощность на нагрузке равна нулю.

8.8. Волновое сопротивление длинной линии.

Волновое сопротивление .

Волновое сопротивление не зависит от длины линии, а определяется ее первичными параметрами.

Определим модуль и аргумент волнового сопротивления соответственно:

, .

Построим графическую зависимость и . Для всех реально существующих линий , поэтому:

Самостоятельно определить ωm! Ответ: .

Используя уравнения передачи вида:

, ,

определим напряжение и ток в начале линии при согласованном режиме, когда, где – сопротивление нагрузки:

, ,

, ,

, .

Поскольку , , тогда .

Окончательно получим:

, .

Из последних уравнений легко определить напряжение и ток в конце линии:

, .

Напряжение и ток в любой точке линии при согласованном режиме определяются:

, .

8.9. Коэффициент распространения. Способ определения первичных параметров

Коэффициент распространения: , откуда

– коэффициент ослабления, – коэффициент фазы.

Определим модуль и аргумент коэффициента распространения соответственно:

, .

Построим графическую зависимость и .

При согласованном режиме , , отсюда:

.

Пусть , , , , тогда

, следовательно

, , откуда определяем:

[Нп/м], либо [дБ/м]

, для линии длинной x = 1м, получаем [рад/м].

Рассмотрим способ определения первичных параметров по известным вторичным параметрам.

Т.к. , , то

, .

Таким образом:

, , , .

Вопрос № 32 Входное сопротивление длинной линии

Входное сопротивление линии определяется отношением напряжения и тока в начале линии. Определим входное сопротивление с помощью уравнений передачи:

, после преобразований

Рассмотрим частные случаи режима работы линии.

При согласованном режиме работы , тогда входное сопротивление линии равно волновому сопротивлению: .

В режиме короткого замыкания , тогда

.

В режиме холостого хода , тогда

.

На практике удобно входное сопротивление линии выражать через параметры холостого хода и короткого замыкания, т.е. и .

,

Представим зависимость модулей сопротивлений XX и КЗ от длины линии и зависимость модуля от частоты при несогласованной нагрузке.

Выводы:

Колебательный характер входного сопротивления при несогласованном режиме объясняется наличием в линии падающих и отраженных волн.

При изменении частоты и длины линии изменяется фаза отраженной волны.

Если в начале линии отраженная и падающая волна напряжения совпадают по фазе (отраженная и падающая волна тока находятся в противофазе), то

.

Если в начале линии отраженная и падающая волна напряжения находятся в противофазе (отраженная и падающая волна тока совпадают по фазе), то

.

Определим входное сопротивление линии без потерь в режиме ХХ.

.

x

0

При КЗ U2=0 и на основании уравнений (17) и (18)

  и ,

откуда для мгновенных значений можно записать

т.е. и в этом случае напряжение и ток представляют собой стоячие волны, причем по сравнению с режимом ХХ пучности и узлы напряжения и тока соответственно меняются местами.

Поскольку в узлах мощность тождественно равна нулю, стоячие волны в передаче энергии вдоль линии не участвуют. Ее передают только бегущие волны. Чем сильнее нагрузка отличается от согласованной, тем сильнее выражены обратные и, следовательно, стоячие волны. В рассмотренных предельных случаях ХХ и КЗ имеют место только стоячие волны, и мощность на нагрузке равна нулю

Определим входное сопротивление линии без потерь в режиме КЗ.

.

Линия без потерь. Согласованный режим.

Линия без потерь – это линия, у которой рассеяние энергии отсутствует, т.е. .

Отсюда коэффициент ослабления , а коэффициент фазы линейно зависит от частоты. Из курса физики известно, что длина волны λ – расстояние между двумя точками, взятыми в направлении распространения волны, фазы в которых отличаются на 2π, т.е. , откуда .

Уравнения передачи для линии без потерь выглядят в виде:

, .

Для произвольной точки линии без потерь уравнения запишем в виде:

, .

При согласованном режиме , с учетом того, что , получим

,

.

Запишем уравнения для мгновенных значений напряжения и тока

,

.

Эти уравнения описывают падающие волны, распространяющиеся в линии слева направо. В линии без потерь при согласованном включении существуют только падающие (бегущие) волны. Данный режим работы еще называют режимом бегущей волны.

Линия без потерь. Смешанный режим

Рассмотрим работу линии без потерь, если . Данный режим работы называется смешанным, т.е. одновременно наблюдается режим бегущей волны и режим стоячей волны. Для оценки близости к режиму бегущей волны вводят коэффициент бегущей волны (КБВ):

Иногда на практике используют коэффициент стоячей волны (КСВ).

.

Область изменения данных коэффициентов:

, .

Если КБВ = 0, КСВ =  – стоячая волна, если КБВ = 1, КСВ = 1 – бегущая волна.

Ранее было показано, что

– комплексный коэффициент отражения по напряжению.

Следовательно:

, .

Распределение величин действующих значений напряжений и токов в линии при разных режимах работы

Режимы короткого замыкания, холостого хода и реактивной нагрузки

ZН=jXН

Смешанный режим (нагрузка не равна волновому сопротивлению ZB=√L/C)

При всех прочих значениях сопротивления нагрузки ZН и значениях модуля р в пределах 0  р  1 существует режим смешанных волн, когда часть энергии волны поглощается в сопротивлении нагрузки, а другая часть отражается. Отражённая волна интерферирует с падающей, вследствие чего в точках, где падающая и отражённая волна находятся в противофазе, имеет место минимум, а где они синфазны - максимум.