42. Два типа нелинейных моделей системы «шарик-пружина».

Формула Стокса справедлива, строго говоря, только для установившихся движений, когда действие постоянной внешней силы уравновешивается силой вязкого трения так, что в итоге тело перемещается с постоянной скоростью. Вполне возможны ситуации, при которых сила сопротивления вязкой среды при малых скоростях меньше, а при больших скоростях больше, чем вычисляемая по формуле Стокса; например,

(10)Это нелинейное уравнение, его полное аналитическое решение выписать нельзя. Выражая полную энергию, можно показать затухающий характер системы. Кроме того, в крайних точках можно установить колебательный характер движения шарика в этом случае.

Еще один тип нелинейности может обусловливаться изменяющимися механическими свойствами пружины. Закон Гука действителен лишь при малых отклонениях (деформациях) пружины от ненагруженного нейтрального положения. При заметных деформациях пружина, в зависимости от материала, из которого она изготовлена, и величины деформации, может вести себя как «мягкая», и тогда сила натяжения будет меньше, чем полагается по закону Гука (в случае «жесткой» пружины — наоборот). Жесткость пружины в такой ситуации становится функцией координаты, т. е. K = K (r), и уравнение движения принимает вид

(11)

Уравнение нелинейное. Например, если то

пружина мягкая. В отличие от (10), можно выписать (неявное) решение для (11) с двукратным использованием квадратуры.

Это означает консервативность движения, описываемого моделью (11), или постоянство полной энергии системы. Т.е. в этом случае получаем незатухающие, но не гармонические колебания.

Приведенные построения демонстрируют иерархическую цепочку модели системы «шарик - пружина», получающихся одна из другой при последовательном отказе от предположений, идеализирующих изучаемый объект. В одних случаях усложнение не вносит ничего нового в поведение системы (постоянная внешняя сила), в других ее свойства меняются существенным образом.

Данный путь дает возможность изучать все более реалистичные модели и сравнивать их свойства. Существует и другой путь построения и изучения моделей – от общего к частному.

Опираясь на эту общую модель, можно, проводя соответствующие

конкретизации, последовательно получать и изучать более простые

модели. Данный подход также широко применяется, в том числе и потому,

что позволяет сразу установить некоторые общие свойства объекта,

конкретизируя и дополняя их в частных ситуациях.

43. Общая схема принципа Гамильтона.

Еще один подход к построению моделей, по своей широте и универсальности сопоставимый с возможностями, даваемыми фундаментальными законами, состоит в применении так называемых вариационных принципов. Они представляют собой весьма общие утверждения о рассматриваемом объекте (системе, явлении) и гласят, что из всех возможных вариантов его поведения (движения, эволюции) выбираются лишь те, которые удовлетворяют определенному условию. Обычно согласно этому условию некоторая связанная с объектом величина достигает экстремального значения при его переходе из одного состояния в другое.

Сформулированные применительно к какому-либо классу явлений вариационные принципы позволяют единообразно строить соответствующие математические модели. Их универсальность выражается также в том, что, используя их, можно в определенной степени отвлекаться от конкретной природы процесса.

Общая схема принципа Гамильтона

Пусть имеется механическая система, все элементы которой и взаимодействия между ними определяются законами механики. Обобщенные координаты Q(t) полностью определяют положение механической системы в пространстве. Величина Q(t) м.б. декартовой координатой, набором координат материальных точек, составляющих систему. Величину естественно назвать обобщенной скоростью механической системы в момент времени . Набор величин и определяет состояние механической системы во все моменты времени.

Для описания механической системы вводится функция Лагранжа. В простейших случаях функция Лагранжа имеет ясный смысл и записывается в виде

где и - кинетическая и потенциальная энергии системы соответственно. Введём величину , называемую действием по Гамильтону

Данный интеграл является функционалом от обобщённой координаты , заданной на отрезке . Он ставит ей в соответствие некоторое число .

Принцип Гамильтона для механической системы гласит: если система движется по заданным законам механики, то - стационарная функция для  или

Функция - некоторая пробная функция, обращающаяся в нуль в моменты и удовлетворяющая тому условию, что - возможная координата данной системы.

Смысл принципа в том, что для всех априори мыслимых движений системы между моментами и выбирается движение, доставляющее минимум функционалу действия.

Функция называется вариацией величины .

Примеры использования принципа Гамильтона рисуют весьма четкую последовательность действий; универсальность, строго формализованные последовательные процедуры, не зависящие от деталей конкретной системы, безусловно, привлекательная черта вариационных принципов.