41. Учет сил трения.

В рассматриваемой системе силы трения могут появиться, по крайней мере, из-за двух причин. Первая из них - неидеальность поверхности шарика и плоскости, по которой он двигается. В этом случае сила трения, где - коэффициент трения, - вес шарика. Эта сила всегда направлена против движения шарика, ее знак противоположен знаку скорости шарика , т.е. .

Движение шарика подчиняется уравнению

Внешне уравнение похоже на уравнение с постоянной силой . Однако из-за знакопеременности силы оно не сводится к стандартному уравнению колебания. В частности, амплитуда колебаний шарика уменьшается со временем. Перепишем уравнение, заменив в нем

  или .

Умножим обе части уравнения на

  или .

Последнее уравнение эквивалентно уравнению

Слева в круглой скобке стоит сумма кинетической и потенциальной энергии , а в правой значение всегда отрицательное при , т.е.

при , при .

Следовательно, полная энергия убывает со временем. Поскольку в момент достижения шариком максимальной амплитуды его скорость и кинетическая энергия равны нулю, то в эти моменты . И в силу убывания амплитуда также убывающая функция времени.

Рассмотрим результат действия силы трения, возникающей из-за сопротивления среды, в которой движется шарик (воздух, вода). В этом случае сила трения существенно зависит от скорости движения, и эта зависимость описывается формулой Стокса:

,

где коэффициент определяется размерами шарика, плотностью среды и т.д.

Уравнение движения в вязкой среде имеет вид

(1)

Покажем, что движение происходит с затуханием.

  или , где .

Умножим обе части уравнения на

  или ,

что эквивалентно

  или

при , при . Полная энергия убывает со временем, следовательно, так как в моменты достижения максимальной амплитуды скорость и кинетическая энергия равны нулю, то потенциальная энергия равна полной, и в силу убывания движение происходит с затуханием ( - убывающая функция времени). Решим его. (1)

Сделаем замену переменных

;

.

Подставляем

.

Сокращаем на

.

Приведем данное уравнение к базовому. Положим , откуда .

Тогда получим

  или .

Введем обозначение . Уравнение примет вид

В этом уравнении величина может менять знак в зависимости от параметров .

При малой вязкости, то есть при решение имеет вид

,

и для имеем , где , а постоянные , находятся через .

В системе происходят затухающие со временем колебания с частотой .

Если , то очевидно . Для с учетом начальных данных получаем

.

В данном случае колебания отсутствуют благодаря подавляющему действию сил вязкого трения. Система может лишь один раз пройти точку , для чего необходимо и достаточно выполнение условий

или .

То есть начальная скорость шарика должна быть достаточно велика и направлена к точке . При этом скорость шарика может менять знак лишь один раз.

Наконец, при большой вязкости действие силы трения настолько значительно, что для любых , шарик никогда не проходит точку , а лишь односторонне приближается к ней при .

Действительно, при решение уравнения (4.3.4) знакопостоянно, следовательно, величина также не меняет знак.