39. Иерархия моделей. Различные варианты действия заданной внешней силы.

Лишь в редких случаях бывает удобным и оправданным построение математических моделей даже относительно простых объектов сразу во всей полноте с учетом всех факторов, существенных для его поведения. Поэтому естественен подход, реализующий принцип «от простого к сложному», когда следующий шаг делается после достаточно подробного изучения не очень сложной модели. При этом возникает цепочка (иерархия) все более полных моделей, каждая из которых обобщает предыдущую, включая их в качестве частного случая.

1. Пусть на шарик действует известная внешняя сила . Она может порождаться полем тяготения, иметь электрическое или магнитное происхождение и т.д. Из второго закона Ньютона получаем  

Простейший вариант уравнения отвечает постоянной силе . Проведя замену , получим для ,

то есть постоянная сила не вносит изменений в процесс колебаний за тем исключением, что координата нейтральной точки, в которой сила, действующая на шарик, равна нулю, сдвигается на величину .

2. Гораздо более сложная картина движения может порождаться зависящей от времени силой . Рассмотрим для определенности периодическую внешнюю силу

Решение этого нелинейного уравнения состоит из суммы общего решения однородного уравнения

, и частного решения

Подставим частное решение в дифференциальное уравнение

,

,

.

В итоге для общего решения имеем

,

то есть в системе возможно возникновение резонанса - неограниченного роста амплитуды при

40. Движение точки крепления. Две пружины.

Резонанс в системе может возникнуть благодаря действию сил инерционного происхождения. Пусть точка крепления пружины движется по закону . Тогда в системе координат, связанной с этой точкой, на шарик, помимо натяжения пружины, действует сила инерции, равная , - ускорение

.

В этой системе координат движение шарика описывается уравнением

, где - некоторая заданная функция времени. Как и в предыдущем случае, при соответствующем периодическом движении точки крепления, в системе возникает резонанс. При более сложной геометрии силы инерции системы могут зависеть не только от времени , но и от координаты . Если пружина надета на стержень, движущийся с угловой скоростью , то центробежная сила инерции равна , где , , - длина пружины в ненагруженном состоянии, - отклонение шарика от нейтрального положения, . Уравнение движения шарика принимает вид

где или ,

причем если внешняя сила будет зависеть только от времени, т.к. r можно пренебречь. .Но в данном случае резонанс невозможен, так как внешняя сила всегда направлена в одну сторону и не в состоянии раскачать систему:

,

.

Заметим, что усложненная геометрия не всегда означает более сложное поведение объекта.

Рассмотрим шарик, прикрепленный к двум пружинам с жесткостью. Начало координат возьмем в точке, где силы, действующие на шарик, уравновешены. Шарик не должен упираться в одну из точек крепления.

По закону Гука при отклонении на шарик со стороны левой пружины действует сила , а со стороны правой (обе силы действуют в одну сторону, так как при растяжении первой пружины вторая сжимается).

В итоге приходим к такому же уравнению, как и в случае одной пружины,

.