9. 3. Построение точечных графиков диаграмм, гистограмм, отражающих зависимость данных величин.

10. 4. Вычисление коэффициентов корреляции и детерминации.

С помощью коэффициента корреляции определяется степень зависимости между величинами. То есть после вычисления этого коэффициента, можно узнать, существует ли зависимость между прибылью и собственным капиталом.

Для вычисления коэффициента корреляции требуется вычислить:

1. средние арифметические значений X и Y ( и );

2. статистические дисперсии ( и );

3. статистический корреляционный момент ();

4. среднеквадратические отклонения ( и ).

1. =1362,5;

=68,44;

2. =99875,6;

=39,2;

3. =-1367,63;

4. =316,03;

=6,26.

Коэффициент корреляции: =-0,69123.

Коэффициент детерминации: =0,47779.

11. 5. Нахождение уравнений линейной регрессии y на X первой степени, полинома 2-ой и 3-ей степени. Построение их графиков.

1)Рассмотрим уравнение линейной регрессии Y на X первой степени.

Воспользуемся методом наименьших квадратов:

, .

, , , .

a=-0,013693368;

b=87,09471374.

Искомое уравнение (y=ax+b): y=0,352961031x+171,1944234

Её график выглядит следующим образом:

2)Уравнение полинома 2-ой степени будет рассчитываться следующим образом:

, .

, , , , ,

Подставим значения в систему:

4672527247854,62a + 2933905770b + 1950039,63c = 129799431

1950039,63a + 1950039,69b + 1362,5c = 91963,94

1950039,63a +1362,5b + c = 68,44

a=0,00001489802870

b=-0,0587179

c=119,3888533

Искомое уравнение: y=0,00001489802870x² - 0,0587179x + 119,3888533

Её график выглядит следующим образом:

3)Уравнение полинома 3-ей степени будет рассчитываться следующим образом:

,

Подставим значения в систему:

13700010444959700000d+7815329504959930c+46725527247857,62b+2933905770,5a= 192972893894,687

7815329504959930d+46725527247857,62c+2933905770,5b+1950039,625a=129779431,1875

46725527247857,62d+ 2933905770,5c+1950039,625b+1362,5a=91963,9375

2933905770,5d+1950039,625c+1362,5b+a=68,4375

a=-0,00000004917498413963

b=0,00023917056986910000

c=-0,38625971001630700000

d=272,89408615528500000000

Искомое уравнение: y = -0,00000004917498413963x³ – 0,00023917056986910000x² + -0,38625971001630700000x + 272,89408615528500000000

Её график выглядит следующим образом:

12. 6. Оценка статистической надежности результатов регрессионного моделирования.

Критерий Фишера

Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F-критерия Фишера. Непосредственному расчету F-критерия предшествует анализ дисперсии. Центральное место в нем занимает разложение общей суммы квадратов отклонений переменной y от среднего значения y на две части – “объясненную” и “остаточную”:

= +

При расчете объясненной, или факторной, суммы квадратов используется теоретические (расчетные) значения результативного признака , найденные по линиям : = a * x + b (для линейной регрессии первого порядка), =a * x^2 + b * x + c (для полинома второй степени), = a * x^3 + b * x^2 + c*x + d (для полинома третьей степени). Поскольку при заданном объеме наблюдений по x и y факторная сумма квадратов при линейной регрессии зависит только от одной константы коэффициента регрессии a, то данная сумма квадратов имеет одну степень свободы . К этому же выводу придем, если рассмотрим содержательную сторону расчетного значения признака y, т.е. . Величина определяется по уравнению линейной регрессии: = a * x +b .

Параметр a можно найти как b =. Подставив выражение параметра a в линейную модель, получим: .

Средний квадрат отклонений или дисперсию на одну степень свободы D

Значение m – число степеней свободы.

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F-отношения, т. е. критерий F:

F = D_факт / D_ост

F-статистика используется для проверки нулевой гипотезы H₀: D_факт =D_ост .

Если нулевая гипотеза H₀ справедлива, то факторная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Если H₀ несправедлива, то факторная дисперсия превышает остаточную в несколько раз. Английским статистиком Снедекором разработаны таблицы критических значений F-отношений при разных уровнях значимости нулевой гипотезы и различном числе степеней свободы. Табличное значение F-критерия – это максимальная величина отношения дисперсии, которая может иметь место при случайном расхождении их для данного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы. Вычисленное значение F-отношения признается достоверным (отличным от единицы), если оно больше отличного. В этом случае нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи:

F_факт > F_табл, H₀ отклоняется.

Если же величина F окажется меньше табличной, то вероятность нулевой гипотезы выше заданного уровня и она может быть отклонена без риска сделать неправильный вывод о наличии связи. В этом случае уравнение регрессии считается статистически незначимым: не F_факт < F_табл, H₀ отклоняется.

1. Для линейной регрессии

= 39,19583333

= 280,913

= 21,930

F_факт = D_факт / D_ост= 12,80930725

F_a=0,05= 4,60 ; k₁ = m = 1, k₂ = n – m – 1 = 14

F_факт > F_табл.

2. Для полинома второй степени

= 39,19583333

= 166,498

= 19,611

F_факт = D_факт / D_ост= 8,490080462

F_a=0,05=3,74; k₁ = m = 2, k₂ = n – m – 1 = 13.

F_факт > F_табл.

3. Для полинома третьей степени

=39,19583333

=134,9264716

=15,26317377

F_факт = D_факт / D_ост=8,840001015

F_a=0,05=3,34; k₁ = m = 3, k₂ = n – m – 1 = 14.

F_факт > F_табл.